O número médio diário de clientes de um posto de gasolina tem sido 250, com um desvio padrão de 80 clientes. Durante uma campanha de 25 dias, em que os clientes recebiam um brinde, o número médio de clientes foi 280, com um desvio padrão de 50. Você diria que a campanha modificou a distribuição do número de clientes do posto? Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício diz: historicamente esse posto tinha em média μ₀ = 250 clientes por dia, com desvio-padrão σ₀ = 80. Aí, numa campanha de 25 dias, a média subiu pra x̄ = 280 e o desvio-padrão da amostra ficou s = 50. A pergunta é: “Será que essa campanha mudou mesmo a distribuição de clientes?”.
Conteúdo que vamos usar: teste de hipótese para média com amostra pequena (n = 25), usando a distribuição t de Student, já que não conhecemos a variância real após a campanha. Explico cada coisinha de teoria na hora.
Conteúdo que vamos usar: teste de hipótese para média com amostra pequena (n = 25), usando a distribuição t de Student, já que não conhecemos a variância real após a campanha. Explico cada coisinha de teoria na hora.
Passo 2
Primeiro, vamos montar nosso teste de hipótese:
- Hipótese nula H₀: a média continua 250 (campanha não mudou nada), ou seja μ = 250.
- Hipótese alternativa H₁: a média é diferente de 250 (campanha fez diferença), ou seja μ ≠ 250.
Esse é um teste bicaudal porque queremos saber mudança pra mais ou pra menos.
Teoria rápida: em um teste de hipóteses para média, a estatística de teste é
que segue a t de Student com
graus de liberdade (aqui 24).
Passo 3
Vamos calcular o t:
Explicando: 50 é o desvio da amostra, dividimos por √25 = 5 pra achar o erro padrão, deu 10, e aí o desvio da média (30) sobre 10 dá 3.
Passo 4
Agora precisamos ver se |t| = 3 é grande o suficiente pra recusar H₀. Pra um nível de significância de 5% (α = 0,05) num teste bicaudal, o valor crítico de t com 24 graus de liberdade é aproximadamente ±2,064.
Como 3 > 2,064, isso cai na região de rejeição. Em outras palavras, a probabilidade de obter uma estatística tão extrema se a média fosse mesmo 250 é menor que 5%.
Como 3 > 2,064, isso cai na região de rejeição. Em outras palavras, a probabilidade de obter uma estatística tão extrema se a média fosse mesmo 250 é menor que 5%.
Resposta
Sim, a campanha modificou a distribuição do número de clientes. Com base no teste t (t = 3, df = 24), rejeitamos a hipótese de que a média continua 250 no nível de 5% de significância.