Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=2. Calcule Cov[N(6) ; N(20)].

Passo 1

Beleza, olha só o que o problema tá pedindo: “Temos um processo de Poisson com taxa . A gente quer encontrar .”
Conteúdo: processos de Poisson (incrementos independentes, média e variância), e a definição de covariância. Para resolver, vamos usar:
  1. Covariância: .
  2. Propriedade de incrementos independentes do processo de Poisson.
  3. Fatos sobre média e variância de Poisson: , .

Passo 2

Primeiro, definimos:
Covl(N(6),N(20)r) =El[N(6),N(20)r];-;E[N(6)],E[N(20)]
Sabendo que El[N(6),N(20)r] =El[N(6),(N(6)+N(20)-N(6))r] =El[N(6)^2r]+E[N(6)],El[N(20)-N(6)r] e que é independente de , a gente faz:

Passo 3

Agora calculamos cada pedacinho:
  1. El[N(6)^2r] =Var(N(6))+E[N(6)]^2 =12+12^2 =12+144 =156 .
  2. El[N(6),N(20)r] =156 + (12)(28) =156 + 336 =492 .
  3. , daí
  4. .
Então

Passo 4

Volta na fórmula da covariância:
Cov(N(6),N(20)) =492 ;-;(12)(40) =492 - 480 =12
Outra forma direta, usando que em um processo de Poisson vale
, dá logo .

Resposta

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