Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=2. Calcule P[N(6)=9 mid N(20)=13].

Passo 1

O problema diz: temos um processo de Poisson Pl[N(6)=9 mid N(20)=13r] com taxa eventos por unidade de tempo. A pergunta é
O conteúdo aqui é Propriedades do Processo de Poisson (incrementos estacionários e independentes) e, em particular, a distribuição condicional de um sub-intervalo dado o total num intervalo maior—que cai como uma Binomial. Para resolver, vamos usar a fórmula da Binomial condicional.

Passo 2

Teoria rápida: num processo de Poisson com parâmetro Binomiall(n,,p=tfracsTr) , os incrementos são independentes e estacionários. Além disso, se sabemos que ocorreram eventos até o tempo , esses eventos “se espalham” como pontos uniformes em . Daí decorre que o número de eventos que caem em dado é

Passo 3

Aqui temos p = sT = 620 = 0.3 , P[N(6)=9 mid N(20)=13] = Pl[Binomial(13,0.3)=9r] e, no condicional, . Logo
Então

Passo 4

A fórmula da Binomial é
P[X=k] ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Substituindo P[N(6)=9 mid N(20)=13] = binom139,(0.3)^9,(0.7)^4 , e :

Passo 5

Só fica calcular 715 times 0.3^9 times 0.7^4 , e depois multiplicar:
Se você quiser um valor aproximado, dá mais ou menos .

Resposta

boxedP[N(6)=9 mid N(20)=13] = binom139,(0.3)^9,(0.7)^4 approx 0.00338

Exercícios relacionados