- Em um processo de endurecimento brusco, barras de aço (
, e k
) são aquecidas em um forno a
e depois resfriadas em banho de água a uma temperatura média de
. O banho de água tem temperatura uniforme de
, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é
. Considerando que as barras de aço têm diâmetro de 50 mm e comprimento de 2 m , determine (a) o tempo necessário para arrefecer a barra de aço de
a
no banho de água, e (b) a quantia total de calor transferido à água durante o endurecimento de uma barra.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) o tempo necessário para que a barra de aço resfrie de
até no banho de água; - (b) a quantidade total de calor transferido à água durante esse resfriamento de uma barra.
Dados fornecidos (peguei alguns destes valores do enunciado e da imagem):
- Densidade:
. - Calor específico:
. - Condutividade térmica:
. - Temperatura inicial da barra:
. - Temperatura final desejada (média na barra):
. - Temperatura do banho (fluido):
(peguei este valor da imagem). - Coeficiente de convecção do banho:
(peguei este valor da imagem). - Dimensões da barra (peguei da figura/enunciado): diâmetro
, raio , comprimento .
Observação importante (aqui só identifico o que é pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte).
Passo 2
Decidir o método de resolução: verificar se se pode usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
- Conceito: o número de Biot é
, onde é o comprimento característico térmico definido por (volume dividido pela área superficial). Regra prática: se pode-se usar o modelo lumped (a temperatura dentro do corpo é aproximadamente uniforme durante o transiente). - Para cilindro (barra) de raio
e comprimento :
- Calcular numericamente:
- Conclusão:
, logo o método lumped é aceitável — podemos tratar a barra como um corpo com temperatura uniforme que varia no tempo.
Passo 3
Apresentar o modelo lumped (fórmula e explicação):
- Física simples: para um corpo com temperatura uniforme
imerso em fluido a , o balanço de energia dá onde é a massa do corpo e a área de troca. - Resolver a equação diferencial (é uma equação linear de primeira ordem):
Integrando (condição inicial ) obtemos a solução exponencial - Para achar o tempo
necessário para que a temperatura atinja um valor , isolamos : - Observações sobre as variáveis:
(kg), (J/kgK), (W/m^2K), (m^2). A razão tem dimensão de tempo (constante de tempo térmica).
Passo 4
Calcular numericamente o tempo usando a fórmula:
- Primeiro a massa:
- Calcular o termo
: - Calcular
: - Constante de tempo
: - Razão de temperaturas:
- Tempo necessário:
- Resultado em minutos:
Passo 5
Calcular a quantidade total de calor transferido à água durante o resfriamento (variação de energia interna da barra):
- Modelo: a energia perdida pela barra ao esfriar de
para é - Já temos
e . - Logo
- Em unidades mais usuais:
Passo 6
Interpretação final curta e encorajamento:
- O método usado foi o do modelo de capacitância concentrada (lumped), justificado porque
. Assim a barra foi tratada como de temperatura praticamente uniforme durante o resfriamento. - Dá para lembrar: sempre calcule o número de Biot antes de aplicar o modelo lumped — é a chave para decidir se a temperatura interna pode ser considerada uniforme.
Resposta
(a)
(b)
(b)