1. Em um processo de endurecimento brusco, barras de aço ( \rho=7.832 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, c_{p}=434 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK}, e k =63,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) são aquecidas em um forno a 850^{\circ} \mathrm{C} e depois resfriadas em banho de água a uma temperatura média de 95^{\circ} \mathrm{C}. O banho de água tem temperatura uniforme de 40^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Considerando que as barras de aço têm diâmetro de 50 mm e comprimento de 2 m , determine (a) o tempo necessário para arrefecer a barra de aço de 850^{\circ} \mathrm{C} a 95^{\circ} \mathrm{C} no banho de água, e (b) a quantia total de calor transferido à água durante o endurecimento de uma barra.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o tempo necessário para que a barra de aço resfrie de \,850^\circ\mathrm{C}\, até \,95^\circ\mathrm{C}\, no banho de água;
  • (b) a quantidade total de calor transferido à água durante esse resfriamento de uma barra.
Dados fornecidos (peguei alguns destes valores do enunciado e da imagem):
  • Densidade: \rho = 7{,}832\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico: c_p = 434\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Condutividade térmica: k = 63{,}9\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura inicial da barra: T_i = 850^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada (média na barra): T = 95^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do banho (fluido): T_\infty = 40^\circ\mathrm{C} (peguei este valor da imagem).
  • Coeficiente de convecção do banho: h = 450\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} (peguei este valor da imagem).
  • Dimensões da barra (peguei da figura/enunciado): diâmetro d = 50\\ \mathrm{mm} = 0{,}050\\ \mathrm{m}, raio r = 0{,}025\\ \mathrm{m}, comprimento L = 2{,}0\\ \mathrm{m}.
Observação importante (aqui só identifico o que é pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte).

Passo 2

Decidir o método de resolução: verificar se se pode usar o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance). Para isso calculamos o número de Biot:
  • Conceito: o número de Biot é \displaystyle \mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}, onde L_c é o comprimento característico térmico definido por \displaystyle L_c=\frac{V}{A_s} (volume dividido pela área superficial). Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 pode-se usar o modelo lumped (a temperatura dentro do corpo é aproximadamente uniforme durante o transiente).
  • Para cilindro (barra) de raio r e comprimento L: \text{Volume: }\; V=\pi r^2 L,
\text{Área superficial total: }\; A_s = 2\pi r L + 2\pi r^2.Á
  • Calcular numericamente: V=\pi (0{,}025)^2(2)=\pi \cdot 0{,}00125 \approx 0{,}00392699\\ \mathrm{m^3},
A_s=2\pi(0{,}025)(2)+2\pi(0{,}025)^2 =2\pi\cdot 0{,}05 + 2\pi\cdot 0{,}000625 \approx 0{,}31808626\\ \mathrm{m^2}.
L_c=\frac{V}{A_s}\approx\frac{0{,}00392699}{0{,}31808626}\approx 0{,}0123430\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{450\cdot 0{,}0123430}{63{,}9}\approx 0{,}0869.
  • Conclusão: \mathrm{Bi}\approx 0{,}087<0{,}1, logo o método lumped é aceitável — podemos tratar a barra como um corpo com temperatura uniforme que varia no tempo.

Passo 3

Apresentar o modelo lumped (fórmula e explicação):
  • Física simples: para um corpo com temperatura uniforme \,T(t)\, imerso em fluido a \,T_\infty, o balanço de energia dá m c_p \frac{dT}{dt} = - h A_s \bigl(T(t)-T_\infty\bigr),onde m=\rho V é a massa do corpo e A_s a área de troca.
  • Resolver a equação diferencial (é uma equação linear de primeira ordem): \frac{dT}{dt} = -\frac{h A_s}{m c_p}\bigl(T-T_\infty\bigr).Integrando (condição inicial T(0)=T_i) obtemos a solução exponencial T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\exp\!\Bigl(-\frac{h A_s}{m c_p}\,t\Bigr).
  • Para achar o tempo t necessário para que a temperatura atinja um valor T, isolamos t: \frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\Bigl(-\frac{h A_s}{m c_p}\,t\Bigr) \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{m c_p}{h A_s}\ln\!\left(\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}\right).
  • Observações sobre as variáveis: m=\rho V (kg), c_p (J/kgK), h (W/m^2K), A_s (m^2). A razão m c_p/(h A_s) tem dimensão de tempo (constante de tempo térmica).

Passo 4

Calcular numericamente o tempo usando a fórmula:
  • Primeiro a massa: m=\rho V = 7{,}832\cdot 0{,}00392699 \approx 30{,}76313\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular o termo m c_p: m c_p \approx 30{,}76313\cdot 434 \approx 13{,}353{,}8\\ \mathrm{J/K}.
  • Calcular h A_s: h A_s = 450\cdot 0{,}31808626 \approx 143{,}1388\\ \mathrm{W/K}.
  • Constante de tempo \tau=\dfrac{m c_p}{h A_s}: \tau\approx \frac{13{,}353{,}8}{143{,}1388}\approx 93{,}32\\ \mathrm{s}.
  • Razão de temperaturas: \frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{95-40}{850-40}=\frac{55}{810}\approx 0{,}06790123.
-\ln\!\left(\frac{55}{810}\right)\approx -\ln(0{,}06790123)\approx 2{,}6900.
  • Tempo necessário: t=\tau\cdot\bigl[-\ln\!\bigl(\tfrac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty}\bigr)\bigr] \approx 93{,}32\cdot 2{,}6900 \approx 251{,}1\\ \mathrm{s}.
  • Resultado em minutos: t\approx 251{,}1\\ \mathrm{s}\approx 4{,}19\\ \mathrm{min}.

Passo 5

Calcular a quantidade total de calor transferido à água durante o resfriamento (variação de energia interna da barra):
  • Modelo: a energia perdida pela barra ao esfriar de T_i para T é Q = m c_p (T_i - T).
  • Já temos m c_p \approx 13{,}353{,}8\\ \mathrm{J/K} e \Delta T = 850-95 = 755\\ \mathrm{K}.
  • Logo Q \approx 13{,}353{,}8\cdot 755 \approx 10{,}082{,}119\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades mais usuais: Q\approx 1{,}0082\times 10^{7}\\ \mathrm{J}\approx 10{,}08\\ \mathrm{MJ}.

Passo 6

Interpretação final curta e encorajamento:
  • O método usado foi o do modelo de capacitância concentrada (lumped), justificado porque \mathrm{Bi}<0{,}1. Assim a barra foi tratada como de temperatura praticamente uniforme durante o resfriamento.
  • Dá para lembrar: sempre calcule o número de Biot antes de aplicar o modelo lumped — é a chave para decidir se a temperatura interna pode ser considerada uniforme.

Resposta

(a) t \approx 251{,}1\\ \mathrm{s} \approx 4{,}19\\ \mathrm{min}
(b) Q \approx 1{,}0082\times 10^{7}\\ \mathrm{J} \approx 10{,}08\\ \mathrm{MJ}

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