Um processo estocástico pode ser discreto no tempo e com valores contínuos.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha entre “Verdadeiro” ou “Falso” para a afirmação: “Um processo estocástico pode ser discreto no tempo e com valores contínuos.”
Informações dadas: somente essa afirmação. Não há outras restrições nem dados adicionais.
Informações dadas: somente essa afirmação. Não há outras restrições nem dados adicionais.
Passo 2
Vamos definir com calma os termos para não se enrolar na prova.
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por um conjunto de tempo. Escrevemos isso como , onde:
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por um conjunto de tempo. Escrevemos isso como
é o conjunto que indica os instantes de tempo (índice) e cada
é uma variável aleatória que toma valores num espaço de estados.
- “Discreto no tempo” significa que o conjunto de índices
é discreto, por exemplo ou . Em palavras: só observamos o processo em instantes isolados, como em discretizações. - “Valores contínuos” significa que o espaço de estados é um conjunto contínuo, tipicamente um subconjunto de
(por exemplo ou um intervalo ). Ou seja, cada pode assumir qualquer valor real (não apenas 0 ou 1, por exemplo).
Passo 3
Nada na definição proíbe que o índice seja discreto e que as variáveis
assumam valores em
. Para fixar a ideia, dois exemplos bem concretos que você pode citar na prova:
Exemplo A — processo linear autoregressivo simples (AR(1)): defina
por
onde
é um número real fixo e
é uma sequência de ruídos independentes com distribuição normal
. Aqui
(discreto no tempo) e cada
é uma variável real (valores contínuos), porque soma e escala de normais continuam normalmente distribuídas. Portanto é um processo discreto no tempo com estado contínuo.
Exemplo B — amostragem de um movimento Browniano: seja
o movimento Browniano (processo em tempo contínuo com valores em
). Se pegarmos apenas as amostras em tempos inteiros e definirmos
para
, obtemos
que é discreto no tempo (observado só em inteiros) e cujos valores são reais continuos. Note que
, claramente com suporte contínuo em
.
Passo 4
Para contrastar e fixar: processos discretos no tempo podem ser também discretos em valores (por exemplo uma cadeia de Markov simples em
ou um processo de Bernoulli), ou contínuos em valores (como os exemplos acima). Em outras palavras, “discreto no tempo” e “contínuo no espaço de estados” são propriedades independentes — você pode combinar cada tipo de tempo (discreto/contínuo) com cada tipo de estado (discreto/contínuo).
Passo 5
Resumo final do raciocínio: a definição e vários exemplos mostram que não há contradição em ter um processo estocástico cujo índice de tempo é discreto e cujas variáveis aleatórias tomam valores em um conjunto contínuo. Você pode citar o AR(1) com ruído normal ou a amostragem do movimento Browniano como evidência concreta na prova. Portanto, a afirmação é Verdadeira.
Resposta
Verdadeiro