Um processo estocástico pode ser discreto no tempo e com valores contínuos.
Escolha uma opção:
\bigcirc Verdadeiro
\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha entre “Verdadeiro” ou “Falso” para a afirmação: “Um processo estocástico pode ser discreto no tempo e com valores contínuos.”
Informações dadas: somente essa afirmação. Não há outras restrições nem dados adicionais.

Passo 2

Vamos definir com calma os termos para não se enrolar na prova.
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias indexadas por um conjunto de tempo. Escrevemos isso como \{X_t\}_{t\in T}, onde:
T
é o conjunto que indica os instantes de tempo (índice) e cada X_t é uma variável aleatória que toma valores num espaço de estados.
  • “Discreto no tempo” significa que o conjunto de índices T é discreto, por exemplo T=\{0,1,2,\dots\} ou T=\mathbb{Z}. Em palavras: só observamos o processo em instantes isolados, como em discretizações.
  • “Valores contínuos” significa que o espaço de estados é um conjunto contínuo, tipicamente um subconjunto de \mathbb{R} (por exemplo \mathbb{R} ou um intervalo [a,b]). Ou seja, cada X_t pode assumir qualquer valor real (não apenas 0 ou 1, por exemplo).

Passo 3

Nada na definição proíbe que o índice seja discreto e que as variáveis X_t assumam valores em \mathbb{R}. Para fixar a ideia, dois exemplos bem concretos que você pode citar na prova:
Exemplo A — processo linear autoregressivo simples (AR(1)): defina \{X_n\}_{n\in\mathbb{N}} por
X_{n+1}=a\,X_n+\varepsilon_{n+1},
onde a é um número real fixo e \{\varepsilon_n\} é uma sequência de ruídos independentes com distribuição normal \mathcal{N}(0,\sigma^2). Aqui T=\mathbb{N} (discreto no tempo) e cada X_n é uma variável real (valores contínuos), porque soma e escala de normais continuam normalmente distribuídas. Portanto é um processo discreto no tempo com estado contínuo.
Exemplo B — amostragem de um movimento Browniano: seja \{B_t\}_{t\ge0} o movimento Browniano (processo em tempo contínuo com valores em \mathbb{R}). Se pegarmos apenas as amostras em tempos inteiros e definirmos X_n=B_n para n\in\mathbb{N}, obtemos \{X_n\}_{n\in\mathbb{N}} que é discreto no tempo (observado só em inteiros) e cujos valores são reais continuos. Note que B_n\sim\mathcal{N}(0,n), claramente com suporte contínuo em \mathbb{R}.

Passo 4

Para contrastar e fixar: processos discretos no tempo podem ser também discretos em valores (por exemplo uma cadeia de Markov simples em \{0,1\} ou um processo de Bernoulli), ou contínuos em valores (como os exemplos acima). Em outras palavras, “discreto no tempo” e “contínuo no espaço de estados” são propriedades independentes — você pode combinar cada tipo de tempo (discreto/contínuo) com cada tipo de estado (discreto/contínuo).

Passo 5

Resumo final do raciocínio: a definição e vários exemplos mostram que não há contradição em ter um processo estocástico cujo índice de tempo é discreto e cujas variáveis aleatórias tomam valores em um conjunto contínuo. Você pode citar o AR(1) com ruído normal ou a amostragem do movimento Browniano como evidência concreta na prova. Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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