Um processo de evaporação-cristalização do tipo descrito no Exemplo resolvido em sala é usado para se obter sulfato de potássio sólido de uma solução aquosa deste sal. A alimentação virgem do processo contém 19,6 \% em massa de K 2 SO 4 . A torta úmida de filtro consiste em cristais de K 2 SO 4 sólido e de uma solução 40,0 \% em massa de K 2 SO 4 , em uma proporção 10 kg cristais/ kg solução. O filtrado, também uma solução 40,0 \%, é reciclado para se juntar à alimentação virgem. Da água que alimentou o evaporador, 45,0 \% são evaporados. O evaporador tem uma capacidade máxima de 175 kg de água evaporada/s. (a) Considere que o processo opera com a sua capacidade máxima. Desenhe e rotule o diagrama de fluxo e faça a análise dos graus de liberdade. (b) Calcule a taxa de produção máxima de K 2 SO 4 sólido, a vazão na qual a alimentação virgem deve ser suprida para garantir esta taxa de produção e a razão kg reciclo/kg alimentação virgem. (c) Calcule a composição e a vazão da corrente que entra no cristalizador se o processo é escalonado para 75 \% da sua capacidade máxima.

Passo 1

O enunciado descreve um processo contínuo com as seguintes correntes e operações:
– Alimentação virgem (composição \,19{,}6\% em massa de \mathrm{K_2SO_4}), que se mistura ao reciclo para formar a alimentação do evaporador.
– No evaporador, evapora-se 45{,}0\% da água dessa alimentação.
– A solução concentrada resultante entra no cristalizador, onde cristaliza \mathrm{K_2SO_4} até que a licor mãe fique com 40{,}0\% em massa de sal.
– A mistura de cristais e licor mãe é filtrada, gerando a torta úmida (razão 10\;\mathrm{kg} cristais / \,1\;\mathrm{kg} solução mãe) e o filtrado (licor mãe )40{,}0%)) que é totalmente reciclado.
Conteúdo: balanços de massa em sistema com reciclo e estágio de evaporação. Vamos precisar:
  1. Escrever balanços de sal e água em cada unidade (mistura/evaporador, cristalizador, filtro).
  2. Fechar o laço de reciclo impondo balanço no filtro.
  3. Usar a restrição de capacidade máxima do evaporador (175 kg H_{2}O/h evaporada) para determinar vazões.

Passo 2

Montagem das variáveis e equações gerais
Denotemos as vazões (kg/h): \,F_v = vazão da alimentação virgem; \,R = vazão do filtrado reciclado; \,S = massa de sal em alimentação ao cristalizador; \,W = massa de água em alimentação ao cristalizador; \,C = produção de cristais de \mathrm{K_2SO_4}.
(a) Mistura no evaporador (antes de evaporar):
\text{sal in} = 0{,}196\,F_v + 0{,}40\,R, \quad \text{água in} = 0{,}804\,F_v + 0{,}60\,R.á
Como 45{,}0\% dessa água é removida por evaporação, a solução para o cristalizador fica com
S = 0{,}196\,F_v + 0{,}40\,R, \quad W = 0{,}55\,\bigl(0{,}804\,F_v + 0{,}60\,R\bigr) =0{,}4422\,F_v + 0{,}33\,R.
(b) No cristalizador + filtro, cristaliza-se até licor mãe em 40{,}0\% de sal. Da massa total S+W, forma-se C de cristais (puros) e sobra licor mãe de massa
M_L = \frac{S - C}{0{,}40}.
A água no licor mãe é 0{,}60\,M_L. Balanço de água em cristalizador dá
W = 0{,}60\,M_L \;\Longrightarrow\; W = 0{,}60\;\frac{S - C}{0{,}40} =1{,}5\,(S - C) \;\Longrightarrow\; C = S - \frac{W}{1{,}5}.
(c) O filtro retém os cristais C e L_{\text{torta}} de licor mãe na razão 10\;\mathrm{kg} cristais / \,1\;\mathrm{kg} solução. Logo
L_{\text{torta}} = \frac{C}{10}.
O restante do licor mãe é o filtrado reciclado, R = M_L - L_{\text{torta}}.

Passo 3

Fechando o laço de reciclo
Usando S, W do Passo 2 e C = S - W/1{,}5, obtemos
C = (0{,}196\,F_v + 0{,}40\,R) - \frac{1}{1{,}5}\bigl(0{,}4422\,F_v + 0{,}33\,R\bigr) = -0{,}0988\,F_v + 0{,}18\,R.
Também
M_L = \frac{S - C}{0{,}40}, \quad L_{\text{torta}} = \frac{C}{10}, \quad R = M_L - L_{\text{torta}}.
Substituindo em R e simplificando, chega-se a
R = 1{,}596\,F_v \quad\text{e}\quad C = 0{,}1885\,F_v.
Não há graus de liberdade não resolvidos: determinamos R e C em função de F_v.

Passo 4

(a) Diagrama de fluxo e graus de liberdade
Evaporador: F_v + R; \to remove 0{,}45\,(0{,}804\,F_v+0{,}60\,R) de água \to sai S+W.
Cristalizador + filtro: entrada S+W, saída cristais C + torta (licor \tfrac{C}{10}) + filtrado R.
Grau de liberdade: 1 (escolhemos F_v; R e C ficam definidos).

Passo 5

(b) Produção máxima e vazões associadas
A capacidade máxima do evaporador é 175\;\mathrm{kg/h} de água evaporada, ou seja
0{,}45\bigl(0{,}804\,F_v + 0{,}60\,R\bigr) = 175.
Como R=1{,}596\,F_v, tem-se
0{,}45\,(0{,}804+0{,}60\times1{,}596)\,F_v =175 \;\Longrightarrow\; 0{,}79272\,F_v =175 \;\Longrightarrow\; F_v =220{,}7\;\mathrm{kg/h}.
Então
C =0{,}1885\,F_v =0{,}1885\times220{,}7 =41{,}6\;\mathrm{kg/h}, \quad R =1{,}596\times220{,}7 =352{,}4\;\mathrm{kg/h},
e
\frac{R}{F_v}=1{,}596.

Passo 6

(c) Operando a 75\% da capacidade do evaporador
Agora evaporação =0{,}75\times175=131{,}25\;\mathrm{kg/h}:
0{,}79272\,F_v =131{,}25 \;\Longrightarrow\; F_v =165{,}5\;\mathrm{kg/h}, \quad R =1{,}596\,F_v=264{,}2\;\mathrm{kg/h}.
A solução pós-evaporador (alimenta o cristalizador) tem
S =0{,}196\,F_v +0{,}40\,R =32{,}45 +105{,}7 =138{,}15\;\mathrm{kg/h},
W =0{,}55\bigl(0{,}804\,F_v +0{,}60\,R\bigr) =160{,}47\;\mathrm{kg/h},
\text{vazão total} =S+W=298{,}62\;\mathrm{kg/h}, \quad \text{composição} =\frac{138{,}15}{298{,}62}=46{,}3\%\;\mathrm{K_2SO_4}.ãçã

Resposta

(a) Diagrama conforme descrito no Passo 4, grau de liberdade =1.
(b) \displaystyle C_{\max}=41{,}6\;\mathrm{kg/h},\quad F_v=220{,}7\;\mathrm{kg/h},\quad R/F_v=1{,}596.
(c) \displaystyle F_v=165{,}5\;\mathrm{kg/h}, corrente ao cristalizador de 298{,}6\;\mathrm{kg/h} com 46{,}3\% de \mathrm{K_2SO_4}.

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