( 2,0 ) Um processo de evaporação de metanol ( 0,791 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 32 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ), através de um capilar de 6 cm , ocorre a 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}. Inicialmente, o capilar está cheio até a metade com metanol. A essa temperatura, a pressão de vapor do metanol é 0,167 atm e a concentração de metanol no topo do tubo é nula. A difusividade do metanol no ar é 0,162 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Calcule o tempo, em horas, necessário para o metanol evaporar completamente.
t=\left(\frac{\rho_{A_{L}}}{M_{A}}\right) \frac{\bar{y}_{B}}{C D_{A B}\left(y_{A 1}-y_{A Z}\right)} \frac{z_{L}^{2}-z_{0}^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado trata da evaporação de metanol através de um capilar de 6 cm, inicialmente cheio até a metade (altura de 3 cm), em que o transporte é por difusão no ar em repouso a 25\circC e 1 atm. Para calcular o tempo total de evaporação usamos a equação fornecida, resultante da integração da lei de Fick em regime estacionário:
t=\left(\frac{\rho_{AL}}{M_A}\right)\frac{\bar y_B}{C\,D_{AB}\,(y_{A1}-y_{AZ})}\,\frac{z_L^2 - z_0^2}{2}

Passo 2

Identificamos os parâmetros:
– Densidade do líquido \rho_{AL}=0{,}791\ g/c m^{3}.
– Massa molar M_A=32\ g/mol.
– Pressão total P=1\ atm.
– Pressão de vapor de metanol p_{A1}=0{,}167\ atm, logo
y_{A1}=\frac{p_{A1}}{P}=0{,}167,\quad y_{AZ}=0,\quad \Delta y_A=y_{A1}-y_{AZ}=0{,}167.
– Frações molares de ar nas duas extremidades:
y_{B1}=1-y_{A1}=0{,}833,\quad y_{BZ}=1-0=1,\quad \bar y_B=\frac{y_{B1}+y_{BZ}}{2}=0{,}9165.
– Espessura de difusão de z_0=0 cm até z_L=3 cm.

Passo 3

Calculamos a concentração molar total do gás a 25\circC e 1 atm pela equação dos gases ideais:
C=\frac{P}{R\,T}
com R=0{,}082\ at m\cdot L/(mo l\cdot K) e T=298\ K,
C=\frac{1}{0{,}082\times298}\\ \frac{\text{mol}}{\text{L}} =0{,}04091\\ \frac{\text{mol}}{\text{L}} =4{,}091\times10^{-5}\\ \frac{\text{mol}}{\text{cm}^3}.

Passo 4

Avaliação dos termos na equação de t:
\frac{\rho_{AL}}{M_A} =\frac{0{,}791}{32}=0{,}02472\\ \frac{\text{mol}}{\text{cm}^3},
C\,D_{AB}\,\Delta y_A =4{,}091\times10^{-5}\times0{,}162\times0{,}167 =1{,}107\times10^{-6}\\ \frac{\text{mol}}{\text{cm}^3\cdot\text{s}},
\frac{z_L^2 - z_0^2}{2} =\frac{3^2 - 0}{2}=4{,}5\\ \text{cm}^2.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
t =\frac{0{,}02472\times0{,}9165}{1{,}107\times10^{-6}}\times4{,}5 \approx9{,}21\times10^4\\ \text{s}.
Convertendo para horas:
t\approx\frac{9{,}21\times10^4}{3600}\approx25{,}6\\ \text{h}.

Resposta

t\approx25{,}6\\ \text{horas}.

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