Dois reservatórios de armazenamento de gás sâo interligados por um tubo de 3 m de comprimento e 10 cm de diametro. O tanque da esquerda contém nitrogénio puro, enquanto o da direita contém 79 \% de nitrogénio e 21 \% de oxigénio. Ambos os tanques se encontram a 35{ }^{\circ} \mathrm{C} e 2,5 \mathrm{~atm}.
(a) (1,0) Expresse o perfil de concentração do nitrogénio ao longo do tubo de interligação, substituindo as condiçōes de contorno adequadas;
(b) (1,0) Deduza uma expressão para o fluxo molar do nitrogenio;
(c) (1,0) Calcule o fluxo molar do oxigénio através do tubo ( D_{N_{2}, O_{x}}=0,105 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} );
(d) (1,0) Calcule a taxa de transferência de nitrogénio ( M_{N_{2}}=28,015 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ).

Passo 1

Temos dois reservatórios ligados por um tubo de comprimento L=3{\,}\mathrm{m} e diâmetro D=0{,}10{\,}\mathrm{m}. À esquerda há nitrogênio puro x_{N_2}(0)=1 e à direita mistura com x_{N_2}(L)=0{,}79, x_{O_2}(L)=0{,}21. A temperatura é T=35{\,}^\circ\mathrm{C}=308{,}15{\,}\mathrm{K} e a pressão total é P=2{,}5{\,}\mathrm{atm}. Trata-se de difusão molecular em regime estacionário de mistura binária, usando a lei de Fick e o gás ideal.

Passo 2

Como P e T são constantes, a concentração total é
c = \frac{P}{R\,T}.
A fração molar de N_2 varia linearmente de z=0 a z=L com
x_{N_2}(z) = x_{N_2}(0) \;-\;\bigl[x_{N_2}(0)-x_{N_2}(L)\bigr]\frac{z}{L} = 1 - (1-0{,}79)\frac{z}{3}.

Passo 3

Pela lei de Fick unidimensional temos
J_{N_2} \;=\;-D_{N_2,O_2}\,c\,\frac{d x_{N_2}}{dz}.
Como
\frac{d x_{N_2}}{dz} = \frac{x_{N_2}(L)-x_{N_2}(0)}{L} = \frac{0{,}79-1}{3} = -0{,}07\;,
obtemos em módulo
J_{N_2} = D_{N_2,O_2}\,\frac{P}{R\,T}\,\frac{x_{N_2}(0)-x_{N_2}(L)}{L} = D_{N_2,O_2}\,\frac{P}{R\,T}\,\frac{0{,}21}{3}.

Passo 4

Para o oxigênio as condições de contorno são x_{O_2}(0)=0, x_{O_2}(L)=0{,}21. Então
J_{O_2} = -\,D_{N_2,O_2}\,\frac{P}{R\,T}\,\frac{x_{O_2}(L)-x_{O_2}(0)}{L} = -\,D_{N_2,O_2}\,\frac{P}{R\,T}\,\frac{0{,}21}{3}.
Em valor absoluto \bigl|J_{O_2}\bigr|=J_{N_2}.

Passo 5

Numericamente:
D_{N_2,O_2}=0{,}105\;\mathrm{cm^2/s}=1{,}05\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}, \quad P=2{,}5\times1{,}01325\times10^5\;\mathrm{Pa}, \quad R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\,K)}, \quad T=308{,}15\;\mathrm{K}.
Logo
c=\frac{P}{R\,T}\approx98{,}9\;\mathrm{mol/m^3}, \quad \frac{x_{N_2}(0)-x_{N_2}(L)}{L}=\frac{0{,}21}{3}=0{,}07\;\mathrm{m^{-1}}.
J_{N_2}=1{,}05\times10^{-5}\times98{,}9\times0{,}07\approx7{,}27\times10^{-5}\;\mathrm{mol/(m^2\,s)}.
Área do tubo
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}\approx7{,}85\times10^{-3}\;\mathrm{m^2},
portanto a vazão molar é
\dot n_{N_2}=J_{N_2}\,A\approx7{,}27\times10^{-5}\times7{,}85\times10^{-3} \approx5{,}71\times10^{-7}\;\mathrm{mol/s}.
Convertendo para massa com M_{N_2}=28{,}015\;\mathrm{g/mol}:
\dot m_{N_2} =\dot n_{N_2}\,M_{N_2} \approx5{,}71\times10^{-7}\times28{,}015 \approx1{,}60\times10^{-5}\;\mathrm{g/s} =1{,}60\times10^{-8}\;\mathrm{kg/s}.

Resposta

(a) x_{N_2}(z)=1-0{,}21\,\frac{z}{3}.
(b) J_{N_2}=D_{N_2,O_2}\,\dfrac{P}{R\,T}\,\dfrac{x_{N_2}(0)-x_{N_2}(L)}{L}.
(c) J_{O_2}=-D_{N_2,O_2}\,\dfrac{P}{R\,T}\,\dfrac{0{,}21}{3}, com \bigl|J_{O_2}\bigr|=7{,}27\times10^{-5}\;\mathrm{mol/(m^2\,s)}.
(d) \dot m_{N_2}\approx1{,}60\times10^{-8}\;\mathrm{kg/s}.

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