Uma amostra aleatória de 20 peças forneceu os seguintes pesos em gramas:
Usando aproximação normal, calcule o intervalo de confiança de 90% para a média do peso das peças.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- O enunciado pede o intervalo de confiança de
para a média do peso das peças, usando aproximação normal. - Tamanho da amostra:
. - Observações (pesos em gramas):
. - Informação importante para a construção do intervalo (usando aproximação normal): precisamos da média amostral
, do desvio-padrão amostral (para estimar a variabilidade) e do valor crítico da normal padrão para nível de confiança , que é (explico isso adiante).
Passo 2
Cálculo da média amostral
.
- Primeiro soma das observações:
- A média amostral é
Explicação rápida:
é o valor que melhor representa o “centro” dos dados; calculamos somando todos os pesos e dividindo pelo número de peças.
Passo 3
Cálculo do desvio-padrão amostral
(passo a passo e explicação da fórmula).
- Para estimar a variabilidade usamos a variância amostral
, definida por
Aqui
aparece porque usamos a amostra para estimar a variância da população (correção de Bessel).
- Uma forma prática de calcular
é usando a soma dos quadrados:
- Calculou-se
- Então
- Subtraindo:
- Logo
Explicação:
mede a média dos quadrados das diferenças de cada observação para a média; o uso de
corrige o viés da estimativa a partir da amostra.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão
.
- Tirando raiz quadrada de
,
Interpretação: em média os pesos desviam-se da média por cerca de
gramas.
Passo 5
Cálculo do erro padrão da média (standard error).
- O erro padrão da média é
- Como
, temos
Explicação: o erro padrão mede a variabilidade da média amostral
se repetíssemos o experimento várias vezes; quanto maior
, menor é o
.
Passo 6
Escolha do valor crítico da normal e justificativa.
- Como o enunciado pede “usando aproximação normal” e o nível de confiança é
, o nível de significância bilateral é e . - O quantil da normal padrão associado a
é
Explicação: este valor significa que a probabilidade de a normal padrão cair abaixo de
é
; para um intervalo bilateral
usamos esse quantil.
Passo 7
Cálculo da margem de erro e construção do intervalo.
- Margem de erro:
- O intervalo de confiança de
para a média é dado por
- Calculando as extremidades:
Passo 8
Arredondamento e interpretação final.
- Arredondando para duas casas decimais (prática comum em medidas): os limites ficam aproximadamente
e . - Interpretação: com
de confiança, o valor verdadeiro da média do peso das peças está entre esses dois valores (segundo a aproximação normal pedida).