Uma amostra aleatória de 20 peças forneceu os seguintes pesos em gramas:
\begin{aligned} & 250 ; 265 ; 267 ; 269 ; 271 ; 275 ; 277 ; 281 ; 283 ; 284 ; \\\ & 287 ; 289 ; 291 ; 293 ; 293 ; 298 ; 301 ; 303 ; 306 ; 307 . \end{aligned}
Usando aproximação normal, calcule o intervalo de confiança de 90% para a média do peso das peças.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • O enunciado pede o intervalo de confiança de 90\% para a média do peso das peças, usando aproximação normal.
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Observações (pesos em gramas): 250,\,265,\,267,\,269,\,271,\,275,\,277,\,281,\,283,\,284,\,287,\,289,\,291,\,293,\,293,\,298,\,301,\,303,\,306,\,307.
  • Informação importante para a construção do intervalo (usando aproximação normal): precisamos da média amostral \bar{x}, do desvio-padrão amostral s (para estimar a variabilidade) e do valor crítico da normal padrão para nível de confiança 90\%, que é z_{0{,}05}=1{,}645 (explico isso adiante).

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x}.
  • Primeiro soma das observações:
\sum_{i=1}^{20} x_i = 5690.
  • A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{5690}{20}=284{,}5\\ \text{g}.
Explicação rápida: \bar{x} é o valor que melhor representa o “centro” dos dados; calculamos somando todos os pesos e dividindo pelo número de peças.

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão amostral s (passo a passo e explicação da fórmula).
  • Para estimar a variabilidade usamos a variância amostral s^2, definida por
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Aqui n-1 aparece porque usamos a amostra para estimar a variância da população (correção de Bessel).
  • Uma forma prática de calcular s^2 é usando a soma dos quadrados:
s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-n\bar{x}^{2}}{n-1}.
  • Calculou-se
\sum_{i=1}^{20} x_i^{2}=1\,623\,244.
  • Então
n\bar{x}^{2}=20\cdot(284{,}5)^{2}=20\cdot80940{,}25=1\,618\,805.
  • Subtraindo:
\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}=1\,623\,244-1\,618\,805=4\,439.
  • Logo
s^{2}=\frac{4\,439}{19}=233{,}6315789\ldots
Explicação: s^2 mede a média dos quadrados das diferenças de cada observação para a média; o uso de n-1 corrige o viés da estimativa a partir da amostra.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão s.
  • Tirando raiz quadrada de s^2,
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{233{,}6315789\ldots}\approx 15{,}285\\ \text{g}.
Interpretação: em média os pesos desviam-se da média por cerca de 15{,}3 gramas.

Passo 5

Cálculo do erro padrão da média (standard error).
  • O erro padrão da média é
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Como \sqrt{20}\approx 4{,}472136, temos
\mathrm{SE}=\frac{15{,}285}{\sqrt{20}}\approx 3{,}418\\ \text{g}.
Explicação: o erro padrão mede a variabilidade da média amostral \bar{x} se repetíssemos o experimento várias vezes; quanto maior n, menor é o \mathrm{SE}.

Passo 6

Escolha do valor crítico da normal e justificativa.
  • Como o enunciado pede “usando aproximação normal” e o nível de confiança é 90\%, o nível de significância bilateral é \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05.
  • O quantil da normal padrão associado a 1-\alpha/2=0{,}95 é
z_{0{,}05}=1{,}645.
Explicação: este valor significa que a probabilidade de a normal padrão cair abaixo de 1{,}645 é 95\%; para um intervalo bilateral 90\% usamos esse quantil.

Passo 7

Cálculo da margem de erro e construção do intervalo.
  • Margem de erro:
\mathrm{ME}=z_{0{,}05}\cdot\mathrm{SE}=1{,}645\cdot 3{,}418\approx 5{,}623\\ \text{g}.
  • O intervalo de confiança de 90\% para a média é dado por
\bar{x}\pm \mathrm{ME}.
  • Calculando as extremidades:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\mathrm{ME}=284{,}5-5{,}623=278{,}877\\ \text{g},
\text{limite superior}=\bar{x}+\mathrm{ME}=284{,}5+5{,}623=290{,}123\\ \text{g}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação final.
  • Arredondando para duas casas decimais (prática comum em medidas): os limites ficam aproximadamente 278{,}88\\ \text{g} e 290{,}12\\ \text{g}.
  • Interpretação: com 90\% de confiança, o valor verdadeiro da média do peso das peças está entre esses dois valores (segundo a aproximação normal pedida).

Resposta

\left[278{,}88\\ \text{g},\\\ 290{,}12\\ \text{g}\right]

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