No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra 
  está relacionado à corrente 
 . Os seguintes dados são medidos durante a produção.
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 
 | 
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 | 
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma 
 . Use os dados da tabela para determinar as constantes 
  e 
  que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que relaciona a corrente elétrica 
  (em nanoamperes) com o diâmetro da fibra 
  (em metros) durante a fabricação de fibras eletroforéticas. A nossa missão é descobrir os valores das constantes 
  e 
  na equação 
  que melhor se ajustam aos dados fornecidos. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para encontrar a melhor linha (ou curva) que se encaixa nos dados disponíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
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300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 
 | 
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 | 
Vamos calcular 
  para cada valor de 
 :
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|---|---|
| 300 | 17.3205 | 
| 300 | 17.3205 | 
| 350 | 18.7083 | 
| 400 | 20.0000 | 
| 400 | 20.0000 | 
| 500 | 22.3607 | 
| 500 | 22.3607 | 
| 650 | 25.4951 | 
| 650 | 25.4951 | 
Passo 3
Agora, vamos calcular as somas necessárias para aplicar os mínimos quadrados. Precisamos das seguintes somas:
- 
: soma dos diâmetros  - 
: soma das raízes quadradas da corrente  - 
: soma do produto de por  - 
: soma dos quadrados de  
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora que temos todas as somas, vamos montar o sistema de equações do método dos mínimos quadrados. A equação geral para o ajuste é:
Para encontrar 
  e 
 , usamos as seguintes equações:
Onde 
  é o número de dados, que no nosso caso é 9.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 
  e 
 .
Primeiro, da primeira equação:
Podemos isolar 
 :
Agora, substituímos esse valor de 
  na segunda equação:
Vamos simplificar:
Calculando os valores:
Então:
Combinando os termos com 
 :
Isolando 
 :
Passo 6
Agora que encontramos 
 , vamos substituir esse valor na equação que encontramos para 
 :
Resposta
As constantes que melhor ajustam os dados são: