Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que todas as peças sejam ajustadas (AJ).
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Calcule a probabilidade de que todas as peças sejam ajustadas (AJ).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
As probabilidades de cada categoria, para cada peça, são dadas por
Foi analisado um lote de 3 peças e registrou-se apenas a categoria de cada peça, na ordem. A pergunta é:
Calcular a probabilidade de que todas as 3 peças sejam Ajustadas (AJ).
Calcular a probabilidade de que todas as 3 peças sejam Ajustadas (AJ).
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa calcular “todas as 3 peças serem AJ”. Isso corresponde ao evento interseção
Para avaliar
precisamos de uma regra básica de probabilidade: se os resultados das peças são ensaios independentes (isto é, o resultado de uma peça não altera as probabilidades das outras) e as probabilidades por peça são as mesmas em cada ensaio, então a probabilidade do encontro simultâneo é o produto das probabilidades individuais. Vou justificar de forma curta por que podemos aplicar isso aqui: o enunciado fornece uma probabilidade fixa para cada categoria (em função de
) sem mencionar dependência entre peças; portanto o modelo natural e padrão é tratar as três classificações como ensaios independentes e identicamente distribuídos com as probabilidades dadas. Se houvesse dependência isso teria de ser dito no enunciado.
A regra que vamos usar (regra do produto para eventos independentes) é:
Essa fórmula vem da definição de independência: probabilidades condicionadas não alteram as marginais, e repetindo isso obtemos o produto.
Passo 3
Aplicando a regra do produto ao nosso evento
, como cada peça tem a mesma probabilidade de ser AJ dada por
, temos
Substituindo a expressão fornecida:
Multiplicando termos iguais obtemos a forma simplificada:
Passo 4
Observações importantes para a prova (coisas que você pode destacar na hora):
- Essa resposta assume que
. Se as probabilidades estariam indefinidas (caso impossível para o modelo dado). Normalmente são dígitos de matrícula e pelo menos um será não nulo. - Se
então a probabilidade de AJ é zero e, consequentemente, . - Se
por exemplo com valores iguais, a fórmula continua válida (é só substituir).
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (apenas ilustrativo):
suponha ,
,
. Então
suponha
A probabilidade de as 3 serem AJ é
Isso mostra concretamente como aplicar a fórmula na hora da prova.
Passo 6
Resumo prático para a prova: identifique a probabilidade para uma peça (aqui
), verifique se os ensaios são independentes (normalmente são, salvo indicação em contrário) e aplique a regra do produto elevando à potência igual ao número de peças idênticas (aqui potência 3).