Em um processo industrial, um equipamento classifica automaticamente peças em três categorias: - Ajustada (AJ) , Regular (RG) e Defeituosa (DF)
As probabilidades de cada categoria dependem dos últimos dígitos da matrícula do aluno, representados por A, B e C, da seguinte forma:
P(A J)=\frac{A}{A+B+C} P(R G)=\frac{B}{A+B+C} P(D F)=\frac{C}{A+B+C}
Um lote de 3 peças é analisado e registram-se apenas as categorias de cada peça, na ordem em que foram analisadas.
Calcule a probabilidade de que todas as peças sejam ajustadas (AJ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
\text{Categorias: Ajustada (AJ), Regular (RG), Defeituosa (DF).}
As probabilidades de cada categoria, para cada peça, são dadas por
P(\text{AJ})=\frac{A}{A+B+C},\qquad P(\text{RG})=\frac{B}{A+B+C},\qquad P(\text{DF})=\frac{C}{A+B+C}.
Foi analisado um lote de 3 peças e registrou-se apenas a categoria de cada peça, na ordem. A pergunta é:
Calcular a probabilidade de que todas as 3 peças sejam Ajustadas (AJ).

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa calcular “todas as 3 peças serem AJ”. Isso corresponde ao evento interseção
E = \{\text{peça 1 = AJ}\}\cap\{\text{peça 2 = AJ}\}\cap\{\text{peça 3 = AJ}\}.ççç
Para avaliar P(E) precisamos de uma regra básica de probabilidade: se os resultados das peças são ensaios independentes (isto é, o resultado de uma peça não altera as probabilidades das outras) e as probabilidades por peça são as mesmas em cada ensaio, então a probabilidade do encontro simultâneo é o produto das probabilidades individuais. Vou justificar de forma curta por que podemos aplicar isso aqui: o enunciado fornece uma probabilidade fixa para cada categoria (em função de A,B,C) sem mencionar dependência entre peças; portanto o modelo natural e padrão é tratar as três classificações como ensaios independentes e identicamente distribuídos com as probabilidades dadas. Se houvesse dependência isso teria de ser dito no enunciado.
A regra que vamos usar (regra do produto para eventos independentes) é:
\text{Se }E_1,E_2,E_3\text{ são independentes, então }P(E_1\cap E_2\cap E_3)=P(E_1)\cdot P(E_2)\cdot P(E_3).ãã
Essa fórmula vem da definição de independência: probabilidades condicionadas não alteram as marginais, e repetindo isso obtemos o produto.

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao nosso evento E, como cada peça tem a mesma probabilidade de ser AJ dada por \dfrac{A}{A+B+C}, temos
P(E)=P(\text{peça 1 = AJ})\cdot P(\text{peça 2 = AJ})\cdot P(\text{peça 3 = AJ}).ççç
Substituindo a expressão fornecida:
P(E)=\frac{A}{A+B+C}\cdot\frac{A}{A+B+C}\cdot\frac{A}{A+B+C}.
Multiplicando termos iguais obtemos a forma simplificada:
P(E)=\left(\frac{A}{A+B+C}\right)^3.

Passo 4

Observações importantes para a prova (coisas que você pode destacar na hora):
  • Essa resposta assume que A+B+C\neq 0. Se A+B+C=0 as probabilidades estariam indefinidas (caso impossível para o modelo dado). Normalmente A,B,C são dígitos de matrícula e pelo menos um será não nulo.
  • Se A=0 então a probabilidade de AJ é zero e, consequentemente, P(E)=0.
  • Se A=B=C por exemplo com valores iguais, a fórmula continua válida (é só substituir).

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (apenas ilustrativo):
suponha A=2, B=3, C=5. Então
P(\text{AJ})=\frac{2}{2+3+5}=\frac{2}{10}=0,2.
A probabilidade de as 3 serem AJ é
P(E)=(0,2)^3=0,008.
Isso mostra concretamente como aplicar a fórmula na hora da prova.

Passo 6

Resumo prático para a prova: identifique a probabilidade para uma peça (aqui \dfrac{A}{A+B+C}), verifique se os ensaios são independentes (normalmente são, salvo indicação em contrário) e aplique a regra do produto elevando à potência igual ao número de peças idênticas (aqui potência 3).

Resposta

\left(\frac{A}{A+B+C}\right)^3

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