Em um processo industrial, tetracloreto de carbono a 20^{\circ} \mathrm{C} ( \rho=1590 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=9,67 \times 10-4 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} ) escoa através de um bocal cônico que possui um diâmetro de saída igual a 22,4 \mathrm{~mm}. A vazão em escoamento permanente através do bocal é de 2 litros/minuto. (a) Qual a vazão em massa no S.I.? (b) Para o processo é importante que o escoamento seja turbulento na saída. Ele atende esse requisito? Demonstre sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Densidade: \rho=1590\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=9,67\times10^{-4}\\ \mathrm{N\,s/m^{2}}.
  • Diâmetro de saída do bocal: D=22{,}4\\ \mathrm{mm}.
  • Vazão volumétrica: Q=2\\ \mathrm{L/min}.
    O que é pedido:
    (a) Calcular a vazão mássica no S.I. (ou seja \dot{m} em \mathrm{kg/s}).
    (b) Verificar se o escoamento na saída é turbulento — demonstrar calculando o número de Reynolds e comparando com os valores críticos.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as unidades para o S.I. para poder aplicar fórmulas sem erro.
  • Converter o diâmetro para metros:
D = 22{,}4\\ \mathrm{mm} = 22{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0{,}0224\\ \mathrm{m}.
  • Converter a vazão volumétrica para \mathrm{m^{3}/s}. Como 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}:
Q = 2\\ \mathrm{L/min} = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/min} = \frac{2\times10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 3{,}333333\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a vazão mássica \dot{m}. Fórmula básica: a vazão mássica é a densidade vezes a vazão volumétrica.
\dot{m} = \rho\,Q.
Substituindo os valores (todos em S.I.):
\dot{m} = 1590\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 3{,}333333\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}053\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação rápida: isso significa que, a cada segundo, passam cerca de 0{,}053\\ \mathrm{kg} de tetracloreto de carbono pela saída.

Passo 4

Agora precisamos do número de Reynolds na saída para classificar o regime. Para isso é útil conhecer a velocidade média de escoamento na seção de saída. A área da seção circular é
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Calcular A:
A = \frac{\pi (0{,}0224)^{2}}{4} = \frac{\pi \times 0{,}00050176}{4} \approx 3{,}944\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média v dada por
v = \frac{Q}{A}.
Calcular v:
v = \frac{3{,}333333\times10^{-5}}{3{,}944\times10^{-4}}\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}0845\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a velocidade média é pequena (cerca de 8{,}5\\ \mathrm{cm/s}), o que já indica escoamento relativamente lento — isso influencia o número de Reynolds.

Passo 5

Definição e fórmula do número de Reynolds. O número de Reynolds é uma grandeza adimensional que compara efeitos de inércia e de viscosidade e permite classificar o regime do escoamento. Para escoamento em uma conduta de diâmetro D usa-se:
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu},
onde
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • D é o comprimento característico (aqui o diâmetro, em m),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (N·s/m^2 = Pa·s).
Também se pode usar a forma que envolve diretamente Q (às vezes mais prática):
\mathrm{Re} = \frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,\mu\,D}.
As duas expressões são equivalentes porque v=Q/A e A=\pi D^{2}/4.

Passo 6

Calcular numericamente \mathrm{Re}. Vou usar a fórmula direta com Q para evitar arredondamentos intermediários:
\mathrm{Re} = \frac{4\,\rho\,Q}{\pi\,\mu\,D}.
Substituindo valores:
\mathrm{Re} = \frac{4\times1590\times 3{,}333333\times10^{-5}}{\pi\times 9{,}67\times10^{-4}\times 0{,}0224}.
Calcular o numerador:
4\times1590\times 3{,}333333\times10^{-5} = 0{,}212.
Calcular o denominador:
\pi\times 9{,}67\times10^{-4}\times 0{,}0224 \approx 3{,}14159\times 2{,}16608\times10^{-5} \approx 6{,}8069\times10^{-5}.
Portanto
\mathrm{Re} \approx \frac{0{,}212}{6{,}8069\times10^{-5}} \approx 3{,}12\times10^{3}.
Observação: se calcular usando v obtemos o mesmo resultado (checagem rápida): \mathrm{Re}=\dfrac{1590\times0{,}0845\times0{,}0224}{9{,}67\times10^{-4}}\approx3{,}12\times10^{3}.

Passo 7

Interpretação do valor de \mathrm{Re} e conclusão sobre turbulência.
  • Para escoamento interno em dutos/condutas costuma-se usar as referências:
    • \mathrm{Re}\lesssim 2300: escoamento laminar;
    • 2300\lesssim\mathrm{Re}\lesssim 4000: região de transição (instável, pode ser parcialmente turbulento dependendo de perturbações);
    • \mathrm{Re}\gtrsim 4000: escoamento turbulento plenamente estabelecido.
  • Aqui obtivemos \mathrm{Re}\approx 3{,}12\times10^{3}, que está entre 2300 e 4000. Portanto o escoamento está na faixa de transição e não pode ser classificado como claramente turbulento.
    Comentário prático e encorajador: isso significa que, com as condições dadas (vazão e diâmetro), o escoamento na saída não é garantidamente turbulento — pode apresentar regiões de instabilidade. Se for crítico para o processo ter turbulência plena, seria preciso aumentar a vazão (ou reduzir a viscosidade por aquecimento, ou aumentar o diâmetro de entrada/condições externas) para subir \mathrm{Re} acima de aproximadamente 4000. Note também que contracções bruscas, rugosidade e perturbações podem promover transição para turbulência mesmo com \mathrm{Re} nesta faixa; mas a avaliação segura é que, por si só, o número de Reynolds encontrado não garante turbulência.

Resposta

\dot{m}=0{,}053\\ \mathrm{kg/s}
Não — \mathrm{Re}\approx 3{,}12\times10^{3} (regime de transição; não garantidamente turbulento).

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