Um processo opera de acordo com uma chance de ocorrer defeito de 3 %. Coletando 30 peças aleatoriamente, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar:
c) entre 2 e 3 defeitos. R: 2 1 , 4 1 %

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de ter defeitos em peças de um processo. Especificamente, temos uma chance de 3% de uma peça ter defeito. Queremos saber a probabilidade de, ao selecionar 30 peças, encontrar entre 2 e 3 defeitos. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações com dois resultados possíveis (como defeito ou não defeito).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial:
  • n é o número de tentativas, que no nosso caso é 30 peças.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a chance de uma peça ter defeito, que é 3% ou 0,03.
  • k é o número de sucessos que queremos encontrar, que aqui varia entre 2 e 3 defeitos.

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter n - k fracassos.

Passo 4

Vamos calcular P(X = 2) e P(X = 3) separadamente e depois somar as duas probabilidades para encontrar a probabilidade total de ter entre 2 e 3 defeitos.

Passo 5

Primeiro, calculando P(X = 2):
P(X = 2) = binom302 times (0,03)^2 times (0,97)^28
Calculando o coeficiente binomial:
binom302 = 30!2! times 28! = 435
Então:
P(X = 2) = 435 times (0,0009) times (0,97)^28
Vamos calcular (0,97)^28:
(0,97)^28 approx 0,406
Portanto:
P(X = 2) approx 435 times 0,0009 times 0,406 approx 0,159
Ou seja, aproximadamente 15,9%.

Passo 6

Agora, calculando P(X = 3):
P(X = 3) = binom303 times (0,03)^3 times (0,97)^27
Calculando o coeficiente binomial:
binom303 = 30!3! times 27! = 4060
Então:
P(X = 3) = 4060 times (0,000027) times (0,97)^27
Vamos calcular (0,97)^27:
(0,97)^27 approx 0,418
Portanto:
P(X = 3) approx 4060 times 0,000027 times 0,418 approx 0,046
Ou seja, aproximadamente 4,6%.

Passo 7

Agora, somamos as duas probabilidades para encontrar a probabilidade de ter entre 2 e 3 defeitos:
P(2 <= X <= 3) = P(X = 2) + P(X = 3) approx 0,159 + 0,046 = 0,205
Isso significa que há aproximadamente 20,5% de chance de encontrar entre 2 e 3 defeitos nas 30 peças selecionadas.

Resposta

A probabilidade de uma amostra selecionada apresentar entre 2 e 3 defeitos é aproximadamente 20,5%.

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