Um jogador tem 5 / 12 de probabilidade de ganhar um jogo. Na realização de 20 partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer:
a) somente uma partida. R: 0 , 2 %

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um jogador que tem uma chance de 5/12 de ganhar cada jogo. Ele vai jogar 20 partidas no total. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade desse jogador ganhar apenas uma dessas 20 partidas. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Probabilidade Binomial, que é super útil quando queremos calcular a chance de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com a mesma probabilidade de sucesso em cada uma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Probabilidade Binomial. Ela é dada por:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • P(k) é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • n é o número total de tentativas.
  • k é o número de sucessos que queremos.

Passo 3

No nosso caso:
  • n = 20 (total de partidas)
  • k = 1 (queremos que ele ganhe apenas uma partida)
  • p = 512 (probabilidade de ganhar cada partida)
Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom201. Isso representa de quantas maneiras o jogador pode ganhar exatamente uma partida em 20.
binom201 = 20

Passo 5

Agora, calculamos p^k e (1 - p)^n - k.
p^k = (512)^1 = 512
(1 - p)^n - k = (1 - 512)^20 - 1 = (712)^19

Passo 6

Agora, juntamos tudo na fórmula:
P(1) = 20 cdot 512 cdot (712)^19

Passo 7

Para simplificar e encontrar o valor numérico, vamos calcular cada parte:
  • Primeiro, 20 cdot 512 = 10012 approx 8,3333
  • Em seguida, calculamos (712)^19. Isso pode ser feito com uma calculadora científica:
(712)^19 approx 0,024

Passo 8

Agora, multiplicamos esses resultados:
P(1) approx 8,3333 cdot 0,024 approx 0,2

Resposta

A probabilidade de o jogador vencer somente uma partida nas 20 realizadas é de aproximadamente 0,2%.

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