Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora. Encontre a probabilidade que 4 ou menos itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora usando.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Informações dadas:
- A produção tem, em média,
itens defeituosos por hora. Vou anotar isso como . - Estamos considerando uma “retirada aleatória por hora” — ou seja, o número de defeituosos contado em um intervalo de uma hora.
- A produção tem, em média,
-
O que é pedido:
- Calcular a probabilidade de que ocorram “4 ou menos” itens defeituosos nesse intervalo de uma hora, isto é, calcular
ondeé o número de itens defeituosos por hora.
Passo 2
Por que usar o modelo Poisson (explicação didática e intuitiva)?
-
A distribuição de Poisson é usada quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, área, etc.), dado que:
- A taxa média de ocorrências por intervalo é conhecida e constante (aqui,
por hora). - Ocorrências acontecem independentemente umas das outras.
- A taxa média de ocorrências por intervalo é conhecida e constante (aqui,
-
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
-
é a média (a taxa) do número de eventos no intervalo (aqui ). -
é o número específico de eventos (aqui vamos usar ). -
é a base dos logaritmos naturais, . -
é o fatorial de , definido como (por exemplo, ).
Passo 3
Estratégia prática para calcular
- Vamos usar a soma
- Para facilitar contas manuais (e para mim e para você na prova), uso uma relação recursiva entre termos consecutivos:
Isso evita recalcular potências e fatoriais do zero na mão: calculo
e multiplico sucessivamente por
para obter
.
Passo 4
Calcular
(termo inicial)
- Pelo fórmula,
- Com
,
(Aproximamos
por uma calculadora/ tabela; esse valor é pequeno porque
é relativamente grande.)
Passo 5
Calcular
usando a relação recursiva
-
Usando
e o acima: -
-
Para ficar claro: os números acima vieram de multiplicações diretas dos termos anteriores; por exemplo
Passo 6
Somar os termos para obter
- Agora somamos os cinco termos:
- Interpretando: a probabilidade de ter 4 ou menos defeituosos em uma hora, quando a média é 10 defeituosos/hora, é aproximadamente
, isto é, cerca de . Faz sentido intuitivamente: como a média é 10, obter 4 ou menos é um evento relativamente raro.
Passo 7
Dicas para a prova (resumo prático e truques)
- Sempre identifique
(média por intervalo) e verifique se as condições da Poisson fazem sentido. - Use
e a relação recursiva para calcular vários sem recalcular potências e fatoriais do zero. - Se precisar aproximar sem calculadora, você pode usar tabelas de Poisson ou uma aproximação normal quando
é grande (regra prática: grande e você quer caudas centrais). Aqui, como pediram exatamente até , o cálculo direto é melhor.