Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora. Encontre a probabilidade que 4 ou menos itens sejam defeituosos numa retirada aleatória por hora usando.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • A produção tem, em média, \,10 itens defeituosos por hora. Vou anotar isso como \lambda = 10.
    • Estamos considerando uma “retirada aleatória por hora” — ou seja, o número de defeituosos contado em um intervalo de uma hora.
  • O que é pedido:
    • Calcular a probabilidade de que ocorram “4 ou menos” itens defeituosos nesse intervalo de uma hora, isto é, calcular
    P(X \le 4),
    onde X é o número de itens defeituosos por hora.

Passo 2

Por que usar o modelo Poisson (explicação didática e intuitiva)?
  • A distribuição de Poisson é usada quando contamos o número de ocorrências de um evento raro em um intervalo fixo (tempo, área, etc.), dado que:
    1. A taxa média de ocorrências por intervalo é conhecida e constante (aqui, \lambda=10 por hora).
    2. Ocorrências acontecem independentemente umas das outras.
  • A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média (a taxa) do número de eventos no intervalo (aqui \lambda=10).
  • k é o número específico de eventos (aqui vamos usar k=0,1,2,3,4).
  • e é a base dos logaritmos naturais, e\approx 2,718281828.
  • k! é o fatorial de k, definido como k!=k\cdot(k-1)\cdots 2\cdot1 (por exemplo, 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24).

Passo 3

Estratégia prática para calcular P(X\le 4)
  • Vamos usar a soma
P(X\le 4)=\sum_{k=0}^{4} P(X=k)=\sum_{k=0}^{4} \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}.
  • Para facilitar contas manuais (e para mim e para você na prova), uso uma relação recursiva entre termos consecutivos:
P(X=k+1)=P(X=k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}.
Isso evita recalcular potências e fatoriais do zero na mão: calculo P(X=0)=e^{-\lambda} e multiplico sucessivamente por \lambda/(k+1) para obter P(X=1),P(X=2),\dots.

Passo 4

Calcular P(X=0) (termo inicial)
  • Pelo fórmula,
P(X=0)=\frac{\lambda^{0} e^{-\lambda}}{0!}=e^{-\lambda}.
  • Com \lambda=10,
P(X=0)=e^{-10}\approx 0,00004539992976248485.
(Aproximamos e^{-10} por uma calculadora/ tabela; esse valor é pequeno porque \lambda é relativamente grande.)

Passo 5

Calcular P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4) usando a relação recursiva
  • Usando P(X=k+1)=P(X=k)\cdot\frac{10}{k+1} e o P(X=0) acima:
    • P(X=1)=P(X=0)\cdot\frac{10}{1}=10\cdot e^{-10}\approx 0,0004539992976248485.
    • P(X=2)=P(X=1)\cdot\frac{10}{2}=5\cdot P(X=1)\approx 0,0022699964881242425.
    • P(X=3)=P(X=2)\cdot\frac{10}{3}\approx 3,\overline{3}\cdot P(X=2)\approx 0,007566654960414142.
    • P(X=4)=P(X=3)\cdot\frac{10}{4}=2{,}5\cdot P(X=3)\approx 0,018916637401035355.
  • Para ficar claro: os números acima vieram de multiplicações diretas dos termos anteriores; por exemplo
P(X=3)=P(X=2)\cdot\frac{10}{3}\approx 0,0022699964881242425\cdot 3,\overline{3}\approx 0,007566654960414142.

Passo 6

Somar os termos para obter P(X\le 4)
  • Agora somamos os cinco termos:
\begin{aligned} P(X\le 4) &= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\\ &\approx 0,00004539992976248485\\\ &\quad +0,0004539992976248485\\\ &\quad +0,0022699964881242425\\\ &\quad +0,007566654960414142\\\ &\quad +0,018916637401035355\\\ &\approx 0,02925268807696143. \end{aligned}
  • Interpretando: a probabilidade de ter 4 ou menos defeituosos em uma hora, quando a média é 10 defeituosos/hora, é aproximadamente 0,02925, isto é, cerca de 2{,}925\%. Faz sentido intuitivamente: como a média é 10, obter 4 ou menos é um evento relativamente raro.

Passo 7

Dicas para a prova (resumo prático e truques)
  • Sempre identifique \lambda (média por intervalo) e verifique se as condições da Poisson fazem sentido.
  • Use P(0)=e^{-\lambda} e a relação recursiva P(k+1)=P(k)\cdot\frac{\lambda}{k+1} para calcular vários P(k) sem recalcular potências e fatoriais do zero.
  • Se precisar aproximar sem calculadora, você pode usar tabelas de Poisson ou uma aproximação normal quando \lambda é grande (regra prática: \lambda grande e você quer caudas centrais). Aqui, como pediram exatamente até 4, o cálculo direto é melhor.

Resposta

0,02925268807696143
\approx 2,925\%

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