y^{(3)}+y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+3 y=e^{-3 x}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial linear de ordem 3
y^{(3)}+y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+3y=e^{-3x}.
Informações dadas:
\text{EQUAÇÃO: } y^{(3)}+y^{\prime\prime}-5y^{\prime}+3y=e^{-3x}.ÇÃ
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (solução complementar + uma solução particular). Não há condições iniciais, portanto a resposta será a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução complementar (solução da homogênea). Primeiro formamos o polinômio característico associado à homogênea
r^{3}+r^{2}-5r+3=0.
Agora buscamos suas raízes. Testamos raízes racionais simples: r=1 é candidato. Substituindo:
1^{3}+1^{2}-5\cdot1+3=1+1-5+3=0,
portanto r=1 é raiz.

Passo 3

Fatoramos o polinômio dividindo por (r-1). Fazendo divisão (ou regra de Ruffini) em
r^{3}+r^{2}-5r+3,
obtemos o quociente
r^{2}+2r-3,
pois
r^{3}+r^{2}-5r+3=(r-1)(r^{2}+2r-3).
Agora fatoramos r^{2}+2r-3:
r^{2}+2r-3=(r+3)(r-1).
Assim as raízes são
r=1\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad r=-3\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Com as raízes do polinômio característico, escrevemos a solução complementar y_c(x). Regra: se r é raiz de multiplicidade m, os termos correspondentes são e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}. Aplicando aqui:
y_{c}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Escolher forma da solução particular. O termo do lado direito é e^{-3x}. Método: coeficientes indeterminados. Observação importante (ressonância): como r=-3 já é raiz do polinômio característico (multiplicidade 1), a forma usual A e^{-3x} pertence à homogênea, então devemos multiplicar por x^{s} com s igual à multiplicidade da raiz (aqui s=1). Portanto tomamos a ansatz
y_{p}(x)=A x e^{-3x},
onde A é constante a determinar.

Passo 6

Calcular y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime},y_{p}^{(3)} passo a passo. Começando por
y_{p}=A x e^{-3x}.
Derivando (usando produto e cadeia):
  1. Primeira derivada:
y_{p}^{\prime}=\frac{d}{dx}\big(Ax e^{-3x}\big)=A e^{-3x}+Ax(-3)e^{-3x}=e^{-3x}\big(A-3A x\big).
  1. Segunda derivada:
y_{p}^{\prime\prime}=\frac{d}{dx}\Big(e^{-3x}(A-3A x)\Big)=(-3)e^{-3x}(A-3A x)+e^{-3x}(-3A)
\quad=e^{-3x}\big(-3A+9A x-3A\big)=e^{-3x}\big(9A x-6A\big).
  1. Terceira derivada:
y_{p}^{(3)}=\frac{d}{dx}\Big(e^{-3x}(9A x-6A)\Big)=(-3)e^{-3x}(9A x-6A)+e^{-3x}(9A)
\quad=e^{-3x}\big(-27A x+18A+9A\big)=e^{-3x}\big(-27A x+27A\big).

Passo 7

Substituir y_{p},y_{p}^{\prime},y_{p}^{\prime\prime},y_{p}^{(3)} na equação diferencial e resolver para A. Calculamos o lado esquerdo
L[y_{p}]=y_{p}^{(3)}+y_{p}^{\prime\prime}-5y_{p}^{\prime}+3y_{p}.
Substituindo as expressões obtidas (todas têm fator comum e^{-3x}):
L[y_{p}]=e^{-3x}\big(-27A x+27A\big)+e^{-3x}\big(9A x-6A\big)-5e^{-3x}\big(A-3A x\big)+3e^{-3x}\big(Ax\big).
Agrupando coeficientes de x e constantes:
  • Coeficiente de x:
(-27A)+(9A)+(15A)+(3A)=(-27+9+15+3)A=0\cdot A=0.
  • Termos constantes:
27A-6A-5A=16A.
Logo
L[y_{p}]=e^{-3x}\cdot 16A.
Devemos igualar isto ao lado direito e^{-3x}. Assim
16A e^{-3x}=1\cdot e^{-3x}\quad\Longrightarrow\quad 16A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}.

Passo 8

Escrever a solução particular com o valor de A e, finalmente, a solução geral. Temos
y_{p}(x)=\frac{1}{16}x e^{-3x}.
Portanto a solução geral é
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+C_{3}e^{-3x}+\frac{1}{16}x e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias. Observação: os últimos dois termos podem ser combinados como \big(C_{3}+\tfrac{1}{16}x\big)e^{-3x}, mas a forma acima deixa claro a decomposição complementar+particular.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+C_{3}e^{-3x}+\frac{1}{16}x e^{-3x}

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