Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial linear de ordem 3
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a solução geral
(solução complementar + uma solução particular). Não há condições iniciais, portanto a resposta será a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução complementar (solução da homogênea). Primeiro formamos o polinômio característico associado à homogênea
Agora buscamos suas raízes. Testamos raízes racionais simples:
é candidato. Substituindo:
portanto
é raiz.
Passo 3
Fatoramos o polinômio dividindo por
. Fazendo divisão (ou regra de Ruffini) em
obtemos o quociente
pois
Agora fatoramos
:
Assim as raízes são
Passo 4
Com as raízes do polinômio característico, escrevemos a solução complementar
. Regra: se
é raiz de multiplicidade
, os termos correspondentes são
. Aplicando aqui:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Escolher forma da solução particular. O termo do lado direito é
. Método: coeficientes indeterminados. Observação importante (ressonância): como
já é raiz do polinômio característico (multiplicidade 1), a forma usual
pertence à homogênea, então devemos multiplicar por
com
igual à multiplicidade da raiz (aqui
). Portanto tomamos a ansatz
onde
é constante a determinar.
Passo 6
Calcular
passo a passo. Começando por
Derivando (usando produto e cadeia):
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 7
Substituir
na equação diferencial e resolver para
. Calculamos o lado esquerdo
Substituindo as expressões obtidas (todas têm fator comum
):
Agrupando coeficientes de
e constantes:
- Coeficiente de
:
- Termos constantes:
Logo
Devemos igualar isto ao lado direito
. Assim
Passo 8
Escrever a solução particular com o valor de
e, finalmente, a solução geral. Temos
Portanto a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias. Observação: os últimos dois termos podem ser combinados como
, mas a forma acima deixa claro a decomposição complementar+particular.