Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
y \operatorname{sen}(3 x)=x \cos (3 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
y\sin(3x)=x\cos(3y)
e pede dois tipos de informação: (A) os pontos onde a tangente é horizontal e (B) os pontos onde a tangente é vertical; em seguida, pedir para mostrar no gráfico pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
Informações relevantes do enunciado (lista clara e sem resolver nada aqui):
  • A equação que define a curva é \;y\sin(3x)=x\cos(3y)\;.
  • Uma tangente é horizontal quando \dfrac{dy}{dx}=0.
  • Uma tangente é vertical quando \dfrac{dy}{dx} não existe (ou o denominador da expressão para \dfrac{dy}{dx} é zero enquanto o numerador não é zero).
  • Vamos precisar diferenciar implicitamente para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Diferenciação implícita (explicação do método e aplicação detalhada).
Queremos derivar ambos os lados de
y\sin(3x)=x\cos(3y)
em relação a x. Lembre-se das regras que usamos:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia: se g(x)=\sin(3x) então g'(x)=\cos(3x)\cdot 3 porque derivamos o seno e multiplicamos pela derivada do argumento 3x.
  • Notação: escrevo y'=\dfrac{dy}{dx}.
Derivando o lado esquerdo y\sin(3x):
  • y depende de x (é função implícita), então por produto:
\frac{d}{dx}[y\sin(3x)]=y'\sin(3x)+y\cdot(3\cos(3x)).
Derivando o lado direito x\cos(3y):
  • Primeiro termo: derivada de x é 1 multiplicada por \cos(3y).
  • Segundo termo: x vezes derivada de \cos(3y). Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\cos(3y)=-\sin(3y)\cdot 3y'.
    Assim:
\frac{d}{dx}[x\cos(3y)]=\cos(3y)+x\cdot(-3\sin(3y)\,y').
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
y'\sin(3x)+3y\cos(3x)=\cos(3y)-3x\sin(3y)\,y'.
Agrupando os termos com y' (colocando-os no mesmo lado) e os demais do outro lado:
y'\sin(3x)+3x\sin(3y)\,y'=\cos(3y)-3y\cos(3x).
Fatorando y':
y'\big(\sin(3x)+3x\sin(3y)\big)=\cos(3y)-3y\cos(3x).
Finalmente, isolamos a derivada:
\boxed{\,y'=\dfrac{\cos(3y)-3y\cos(3x)}{\sin(3x)+3x\sin(3y)}\,}
Explicação do que cada parte significa:
  • O numerador \cos(3y)-3y\cos(3x) vem das contribuições que não envolvem y' após reagrupamento.
  • O denominador \sin(3x)+3x\sin(3y) é o fator que multiplica y' antes de isolá-lo.

Passo 3

Condições gerais para tangentes horizontal e vertical (interpretando a fórmula e o que precisa ocorrer).
  1. Tangente horizontal: \dfrac{dy}{dx}=0.
  • A partir da fórmula, isto significa que o numerador é zero e o denominador é diferente de zero:
\cos(3y)-3y\cos(3x)=0\qquad\text{e}\qquad \sin(3x)+3x\sin(3y)\neq 0.
  • Se y\neq 0 podemos usar a equação original para simplificar: da original y\sin(3x)=x\cos(3y), se y\neq0 podemos reorganizar e, combinando com a condição do numerador, obter uma equação só em x. Vou mostrar isso porque é útil para achar pontos de forma analítica:
    • A condição do numerador \cos(3y)=3y\cos(3x). Substituindo isso na equação original:
    y\sin(3x)=x\cos(3y)=x\cdot(3y\cos(3x)).
    • Se y\neq 0 podemos dividir por y:
    \sin(3x)=3x\cos(3x).
    • Ou, escrevendo de outra forma,
    \tan(3x)=3x,desde que \cos(3x)\neq 0. Portanto, para y\neq 0 um passo analítico útil é primeiro encontrar x que satisfaz \tan(3x)=3x,e depois determinar y a partir de \cos(3y)=3y\cos(3x) (que veio da condição do numerador) ou diretamente usando a equação original.
  • Observação: a equação \tan(u)=u (com u=3x) não tem solução elementar; tem uma solução trivial u=0 (que dá x=0), e infinitas soluções não nulas que são numéricas (transcendentais). Cada solução u_k dá um x_k=u_k/3, e para cada x_k procura-se y satisfazendo as equações acima.
  1. Tangente vertical: \dfrac{dy}{dx} não existe porque o denominador da expressão é zero mas o numerador não é zero:
\sin(3x)+3x\sin(3y)=0\qquad\text{e}\qquad \cos(3y)-3y\cos(3x)\neq 0.
  • Também é importante notar situações especiais: se tanto numerador quanto denominador forem zero em um ponto, a expressão é indeterminada e é preciso um exame mais detalhado (por exemplo, desenvolver a equação em série ou analisar ramificações). Vamos apontar alguns casos concretos mais simples e fáceis de entender.

Passo 4

Encontrando tangentes verticais fáceis explicitamente (casos óbvios).
Observação prática muito útil: se substituirmos x=0 na equação original obtemos
y\sin(0)=0\quad\Longrightarrow\quad 0=0,
ou seja, toda a reta \;x=0 (qualquer y) satisfaz a equação. Conclusão: a curva contém a reta vertical \;x=0. Isso tem consequência direta sobre as tangentes:
  • Para qualquer ponto (0,y) da curva, a derivada dada pela fórmula tem denominador
\sin(3\cdot 0)+3\cdot 0\cdot\sin(3y)=0+0=0,
portanto a expressão da derivada é do tipo “coeficiente/0” — tipicamente vertical. Se, além disso, o numerador for não nulo, então há tangente vertical naquele ponto. Vamos verificar o numerador em (0,y):
\cos(3y)-3y\cos(0)=\cos(3y)-3y.
  • Se \cos(3y)-3y\neq 0, então em (0,y) a derivada é vertical. Em particular, para y=1: \cos(3)-3\approx -0,98999-3\neq 0,logo (0,1) é um ponto da curva com tangente vertical.
  • Para y=0: o numerador é \cos(0)-0=1\neq0, logo em (0,0) a tangente também é vertical.
  • Existe a possibilidade teórica de algum y satisfazer \cos(3y)=3y; nesses pontos o numerador seria zero também e seria necessário um estudo mais fino (poderia haver uma interseção de ramos ou um ponto singular). Mas isso é uma equação transcendental com soluções isoladas (se existirem). Para a maioria dos y a condição \cos(3y)-3y\neq0 é válida.
Resumo prático de tangentes verticais encontradas de forma analítica:
  • A reta inteira \;x=0 pertence à curva; para a maioria dos y nessa reta (todos os y tais que \cos(3y)\neq 3y) a tangente é vertical. Exemplos numéricos simples: (0,0) e (0,1) têm tangente vertical.

Passo 5

Encontrando (pelo menos) uma tangente horizontal explicitamente (método analítico + cálculo numérico para obter um exemplo concreto).
Como vimos, para y\neq 0 uma forma prática de achar pontos com tangente horizontal é:
\tan(3x)=3x.
Esta equação tem a solução trivial x=0 (mas em x=0 a curva é vertical como vimos), e tem soluções não-nulas u_k para u=3x que são raízes transcendentes. Vamos pegar a primeira raiz positiva não nula da equação \tan(u)=u, que é um número conhecido numericamente:
u_1\approx 4{,}4934094579\quad\Rightarrow\quad x_1=\dfrac{u_1}{3}\approx 1{,}4978031526.
Agora determinamos y correspondente usando a condição do numerador (ou a equação original). Usaremos a forma
\cos(3y)=3y\cos(3x)
que vem da exigência da tangente horizontal. Para nosso x_1 sabemos numericamente \cos(3x_1)=\cos(u_1)\approx -0{,}2172336282. Assim a equação para y fica
\cos(3y)+0{,}6517008846\,y=0
porque 3\cos(3x_1)\approx 3\cdot(-0{,}2172336282)=-0{,}6517008846. Esta equação é transcendental mas pode ser resolvida numericamente por métodos simples (bisseção ou Newton). Fazendo uma busca numérica (mostro os passos resumidos):
  • Avaliando f(y)=\cos(3y)+0{,}6517008846\,y vemos mudança de sinal entre y=0{,}5 e y=0{,}8.
  • Refinando por bisseção/iteração encontramos uma raiz aproximada
y_1\approx 0{,}6760.
Verificação aproximada na equação original:
  • y_1\sin(3x_1)\approx 0{,}6760\cdot\sin(u_1)\approx 0{,}6760\cdot(-0{,}975)\approx -0{,}659.
  • x_1\cos(3y_1)\approx 1{,}4978\cdot\cos(3\cdot0{,}6760)\approx 1{,}4978\cdot(-0{,}444)\approx -0{,}665.
    A pequena diferença é por aproximação numérica; com mais iterações obtemos melhor acordo. Portanto, um ponto com tangente horizontal aproximado é
(x_1,y_1)\approx(1{,}497803,\;0{,}6760).
Também existe a raiz negativa simétrica u_{-1}\approx -4{,}4934094579 que dá outro ponto com tangente horizontal aproximadamente (-1{,}497803,\,-0{,}6760). Em suma: existem infinitos pontos horizontais correspondentes às raízes da equação \tan(3x)=3x; eu apresentei aqui a primeira raiz não-nula e o y correspondente como exemplo concreto.

Passo 6

Como fazer o gráfico e marcar as tangentes (instruções práticas e o que esperar) — parte didática para a prova:
  • A curva contém a reta vertical x=0. Ao desenhar a curva, trace a reta x=0 (esta é parte da curva).
  • Para marcar uma tangente vertical escolha um ponto sobre a reta x=0 em que \cos(3y)\neq 3y, por exemplo o ponto (0,1). Desenhe ali a reta vertical x=0 como tangente.
  • Para marcar uma tangente horizontal use o ponto aproximado (1{,}4978,\;0{,}6760). A tangente horizontal é a reta y\approx 0{,}6760 naquele ponto.
  • Observação prática: a curva é complicada e tem várias ramificações (por causa das funções trigonométricas), então ao traçar à mão concentre-se em:
    1. Plotar alguns pontos especiais: toda a reta x=0; pontos onde \sin(3x)=0 ou \cos(3y)=0 — estes são cruzamentos fáceis;
    2. Usar um software de visualização (Geogebra, Python/matplotlib com contorno de nível de F(x,y)=y\sin(3x)-x\cos(3y)=0) para ver os ramos e destacar os pontos que calculei.
  • Para a prova, se pedirem só “mostrar” uma tangente horizontal e uma vertical, basta indicar analiticamente um ponto de cada tipo e desenhar a reta tangente correspondente.

Resposta

Tangentes verticais: toda a reta \;x=0\; pertence à curva; em particular (0,0) e (0,1) são pontos da curva com tangente vertical (desde que \cos(3y)\neq 3y; em tais pontos o denominador da fórmula de y' é zero e o numerador é não-nulo).
Tangentes horizontais: ocorrem quando \cos(3y)-3y\cos(3x)=0 e \sin(3x)+3x\sin(3y)\neq0. Para y\neq0 isto leva a \tan(3x)=3x; a primeira raiz não-nula dá um ponto horizontal aproximado (x,y)\approx(1{,}497803,\;0{,}6760) (e há outras raízes simétricas, por exemplo (-1{,}497803,\,-0{,}6760)).

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