Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva implícita
e pede dois tipos de informação: (A) os pontos onde a tangente é horizontal e (B) os pontos onde a tangente é vertical; em seguida, pedir para mostrar no gráfico pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
Informações relevantes do enunciado (lista clara e sem resolver nada aqui):
Informações relevantes do enunciado (lista clara e sem resolver nada aqui):
- A equação que define a curva é
. - Uma tangente é horizontal quando
. - Uma tangente é vertical quando
não existe (ou o denominador da expressão para é zero enquanto o numerador não é zero). - Vamos precisar diferenciar implicitamente para obter
.
Passo 2
Diferenciação implícita (explicação do método e aplicação detalhada).
Queremos derivar ambos os lados de
Queremos derivar ambos os lados de
em relação a
. Lembre-se das regras que usamos:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então porque derivamos o seno e multiplicamos pela derivada do argumento . - Notação: escrevo
.
Derivando o lado esquerdo
:
-
depende de (é função implícita), então por produto:
Derivando o lado direito
:
- Primeiro termo: derivada de
é multiplicada por . - Segundo termo:
vezes derivada de . Pela regra da cadeia, .
Assim:
Agora igualamos as derivadas dos dois lados:
Agrupando os termos com
(colocando-os no mesmo lado) e os demais do outro lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos a derivada:
Explicação do que cada parte significa:
- O numerador
vem das contribuições que não envolvem após reagrupamento. - O denominador
é o fator que multiplica antes de isolá-lo.
Passo 3
Condições gerais para tangentes horizontal e vertical (interpretando a fórmula e o que precisa ocorrer).
- Tangente horizontal:
.
- A partir da fórmula, isto significa que o numerador é zero e o denominador é diferente de zero:
- Se
podemos usar a equação original para simplificar: da original , se podemos reorganizar e, combinando com a condição do numerador, obter uma equação só em . Vou mostrar isso porque é útil para achar pontos de forma analítica: - A condição do numerador
. Substituindo isso na equação original:
- Se
podemos dividir por :
- Ou, escrevendo de outra forma,
desde que . Portanto, para um passo analítico útil é primeiro encontrar que satisfaz e depois determinar a partir de (que veio da condição do numerador) ou diretamente usando a equação original. - A condição do numerador
- Observação: a equação
(com ) não tem solução elementar; tem uma solução trivial (que dá ), e infinitas soluções não nulas que são numéricas (transcendentais). Cada solução dá um , e para cada procura-se satisfazendo as equações acima.
- Tangente vertical:
não existe porque o denominador da expressão é zero mas o numerador não é zero:
- Também é importante notar situações especiais: se tanto numerador quanto denominador forem zero em um ponto, a expressão é indeterminada e é preciso um exame mais detalhado (por exemplo, desenvolver a equação em série ou analisar ramificações). Vamos apontar alguns casos concretos mais simples e fáceis de entender.
Passo 4
Encontrando tangentes verticais fáceis explicitamente (casos óbvios).
Observação prática muito útil: se substituirmos na equação original obtemos
Observação prática muito útil: se substituirmos
ou seja, toda a reta
(qualquer
) satisfaz a equação. Conclusão: a curva contém a reta vertical
. Isso tem consequência direta sobre as tangentes:
- Para qualquer ponto
da curva, a derivada dada pela fórmula tem denominador
portanto a expressão da derivada é do tipo “coeficiente/0” — tipicamente vertical. Se, além disso, o numerador for não nulo, então há tangente vertical naquele ponto. Vamos verificar o numerador em
:
- Se
, então em a derivada é vertical. Em particular, para : logo é um ponto da curva com tangente vertical. - Para
: o numerador é , logo em a tangente também é vertical. - Existe a possibilidade teórica de algum
satisfazer ; nesses pontos o numerador seria zero também e seria necessário um estudo mais fino (poderia haver uma interseção de ramos ou um ponto singular). Mas isso é uma equação transcendental com soluções isoladas (se existirem). Para a maioria dos a condição é válida.
Resumo prático de tangentes verticais encontradas de forma analítica:
- A reta inteira
pertence à curva; para a maioria dos nessa reta (todos os tais que ) a tangente é vertical. Exemplos numéricos simples: e têm tangente vertical.
Passo 5
Encontrando (pelo menos) uma tangente horizontal explicitamente (método analítico + cálculo numérico para obter um exemplo concreto).
Como vimos, para uma forma prática de achar pontos com tangente horizontal é:
Como vimos, para
Esta equação tem a solução trivial
(mas em
a curva é vertical como vimos), e tem soluções não-nulas
para
que são raízes transcendentes. Vamos pegar a primeira raiz positiva não nula da equação
, que é um número conhecido numericamente:
Agora determinamos
correspondente usando a condição do numerador (ou a equação original). Usaremos a forma
que vem da exigência da tangente horizontal. Para nosso
sabemos numericamente
. Assim a equação para
fica
porque
. Esta equação é transcendental mas pode ser resolvida numericamente por métodos simples (bisseção ou Newton). Fazendo uma busca numérica (mostro os passos resumidos):
- Avaliando
vemos mudança de sinal entre e . - Refinando por bisseção/iteração encontramos uma raiz aproximada
Verificação aproximada na equação original:
-
. -
.
A pequena diferença é por aproximação numérica; com mais iterações obtemos melhor acordo. Portanto, um ponto com tangente horizontal aproximado é
Também existe a raiz negativa simétrica
que dá outro ponto com tangente horizontal aproximadamente
. Em suma: existem infinitos pontos horizontais correspondentes às raízes da equação
; eu apresentei aqui a primeira raiz não-nula e o
correspondente como exemplo concreto.
Passo 6
Como fazer o gráfico e marcar as tangentes (instruções práticas e o que esperar) — parte didática para a prova:
- A curva contém a reta vertical
. Ao desenhar a curva, trace a reta (esta é parte da curva). - Para marcar uma tangente vertical escolha um ponto sobre a reta
em que , por exemplo o ponto . Desenhe ali a reta vertical como tangente. - Para marcar uma tangente horizontal use o ponto aproximado
. A tangente horizontal é a reta naquele ponto. - Observação prática: a curva é complicada e tem várias ramificações (por causa das funções trigonométricas), então ao traçar à mão concentre-se em:
- Plotar alguns pontos especiais: toda a reta
; pontos onde ou — estes são cruzamentos fáceis; - Usar um software de visualização (Geogebra, Python/matplotlib com contorno de nível de
) para ver os ramos e destacar os pontos que calculei.
- Plotar alguns pontos especiais: toda a reta
- Para a prova, se pedirem só “mostrar” uma tangente horizontal e uma vertical, basta indicar analiticamente um ponto de cada tipo e desenhar a reta tangente correspondente.
Resposta
Tangentes verticais: toda a reta
pertence à curva; em particular
e
são pontos da curva com tangente vertical (desde que
; em tais pontos o denominador da fórmula de
é zero e o numerador é não-nulo).
Tangentes horizontais: ocorrem quando e
. Para
isto leva a
; a primeira raiz não-nula dá um ponto horizontal aproximado
(e há outras raízes simétricas, por exemplo
).
Tangentes horizontais: ocorrem quando