Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
\left(y{2}-1\right)\left(y{2}-4\right)=x{2}\left(x{2}-4\right))

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente
\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)=x^{2}\left(x^{2}-4\right)
e pede duas coisas: (1) encontrar, de forma analítica, os pontos onde a tangente é horizontal e onde é vertical; (2) desenhar (ou indicar como desenhar) o gráfico da curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical. As informações relevantes que temos são apenas a equação da curva e a necessidade de usar diferenciação implícita para obter a inclinação y'.

Passo 2

Vamos obter a expressão de y'=\dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Primeiro note que a função do lado esquerdo depende de y e do lado direito depende de x. Diferenciamos ambos os lados em relação a x, lembrando da regra da cadeia: se h(y) é função de y, então \dfrac{d}{dx}h(y)=h'(y)\,y'.
Escrevendo o lado esquerdo como polinômio em y:
(y^2-1)(y^2-4)=y^4-5y^2+4.
Derivando termo a termo (lembrando que y é função de x):
\frac{d}{dx}\big(y^4-5y^2+4\big)=(4y^3-10y)\,y'.
O lado direito é x^4-4x^2 e sua derivada é
\frac{d}{dx}\big(x^4-4x^2\big)=4x^3-8x.
Igualando as derivadas:
(4y^3-10y)\,y' = 4x^3-8x.
Isolando y' e simplificando (dividindo numerador e denominador por 2):
y'=\frac{4x^3-8x}{4y^3-10y}=\frac{2x(x^2-2)}{y(2y^2-5)}.
Explicação rápida das partes: o numerador 2x(x^2-2) veio da derivada do lado direito e o denominador y(2y^2-5) veio da derivada do lado esquerdo após fatorar y. Essa é a fórmula que usamos para achar tangentes horizontais (quando y'=0) e verticais (quando y' não existe por divisão por zero).

Passo 3

Tangentes horizontais: condição analítica.
Uma tangente é horizontal quando y'=0 (e o ponto pertence à curva), isto é quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero:
2x(x^2-2)=0 \quad\text{e}\quad y(2y^2-5)\neq0.
Da equação 2x(x^2-2)=0 obtemos duas possibilidades: x=0 ou x^2=2 (ou seja x=\pm\sqrt{2}).
  • Caso x=0: substituímos na equação da curva:
    (y^2-1)(y^2-4)=0.
    Isso dá y^2=1 ou y^2=4, ou seja y=\pm1 ou y=\pm2. Precisamos confirmar que o denominador y(2y^2-5) não zera nesses pontos: para y=\pm1, 2y^2-5=2-5=-3\neq0; para y=\pm2, 2y^2-5=8-5=3\neq0. Então os pontos
    (0,1),\\ (0,-1),\\ (0,2),\\ (0,-2)
    são pontos da curva com tangente horizontal.
  • Caso x^2=2 (ou x=\pm\sqrt{2}): substituímos x^2=2 na equação da curva; o lado direito fica 2(2-4)=2(-2)=-4. Então devemos ter
    (y^2-1)(y^2-4)=-4.
    Colocando t=y^2 obtemos t^2-5t+4=-4\Rightarrow t^2-5t+8=0. O discriminante é \Delta=25-32=-7<0, logo não há soluções reais para y. Portanto não há pontos reais na curva com x=\pm\sqrt{2}. Conclusão: as únicas tangentes horizontais reais são nos quatro pontos listados com x=0.

Passo 4

Tangentes verticais: condição analítica.
Uma tangente é vertical quando y' é indefinido por divisão por zero, isto é quando o denominador é zero (e o numerador é não nulo), ou seja:
y(2y^2-5)=0 \quad\text{e}\quad 2x(x^2-2)\neq0.
As duas possibilidades são y=0 ou 2y^2-5=0 (ou y^2=\tfrac{5}{2}, y=\pm\sqrt{5/2}).
  • Caso y=0: substituímos na curva:
    (0-1)(0-4)=4 = x^2(x^2-4).
    Seja s=x^2. Temos s(s-4)=4\Rightarrow s^2-4s-4=0. Pela fórmula de Bhaskara:
    s=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}=\frac{4\pm 4\sqrt{2}}{2}=2\pm 2\sqrt{2}.
    Apenas s=2+2\sqrt{2}>0 é admissível (a outra é negativa), logo
    x=\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}}.
    Verificamos o numerador 2x(x^2-2) nesses pontos: x^2-2=2\sqrt{2}\neq0 e x\neq0, então o numerador é não nulo. Portanto há tangentes verticais nos dois pontos
    \big(\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}},\,0\big).
  • Caso 2y^2-5=0 (ou y^2=\tfrac{5}{2}, y=\pm\sqrt{5/2}): substituímos t=y^2=\tfrac{5}{2} no lado esquerdo:
    (t-1)(t-4)=\Big(\tfrac{5}{2}-1\Big)\Big(\tfrac{5}{2}-4\Big)=\tfrac{3}{2}\cdot\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)=-\tfrac{9}{4}.
    Assim o lado direito deve ser -\tfrac{9}{4}, ou seja, para s=x^2 vale
    s(s-4)=-\tfrac{9}{4}\quad\Rightarrow\quad 4s^2-16s+9=0.
    Resolvendo:
    s=\frac{16\pm\sqrt{256-144}}{8}=\frac{16\pm 4\sqrt{7}}{8}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}.
    Ambas as raízes são positivas, então obtemos quatro valores de x (duas raízes s e sinal \pm para x) para cada sinal de y. Assim os pontos de tangente vertical são
    \Big(\pm\sqrt{\tfrac{4+\sqrt{7}}{2}},\\ \pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\Big) \quad\text{e}\quad \Big(\pm\sqrt{\tfrac{4-\sqrt{7}}{2}},\\ \pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\Big).
    Verificamos o numerador: para esses x temos x\neq0 e x^2\neq2 (os s calculados não valem 2), então o numerador não zera, confirmando tangentes verticais nesses pontos.

Passo 5

Equações das retas tangentes em exemplos representativos e indicação de como fazer o gráfico.
  • Tangentes horizontais encontradas: em qualquer ponto horizontal y'=0 a reta tangente tem equação horizontal y=y_0. Portanto para os pontos encontrados:
    \text{retas tangentes horizontais: } y=1,\\ y=-1,\\ y=2,\\ y=-2.
    Por exemplo, no ponto (0,1) a reta tangente é y=1.
  • Tangentes verticais encontradas: são retas verticais x=x_0. Por exemplo a reta tangente vertical em \big(\sqrt{2+2\sqrt{2}},0\big) é
    x=\sqrt{2+2\sqrt{2}}.
Como esboçar o gráfico: a curva é par em x e em y (trocar x por -x ou y por -y deixa a equação inalterada), e também simétrica pela troca x\leftrightarrow y (lado esquerdo e direito têm o mesmo formato). Para um esboço prático:
  • Marque os pontos (0,\pm1) e (0,\pm2) e desenhe pequenas tangentes horizontais (linhas y=\pm1,y=\pm2).
  • Marque o ponto \big(\sqrt{2+2\sqrt{2}},0\big) (num valor aproximado \sqrt{2+2\sqrt{2}}\approx\sqrt{4.828}\approx2,197) e desenhe a reta vertical x\approx2{,}197. Faça também o simétrico negativo (-2{,}197,0).
  • Marque os pontos com y=\pm\sqrt{5/2}\approx\pm1{,}581 e os respectivos x dados por \pm\sqrt{(4\pm\sqrt{7})/2} (valores aproximados \sqrt{(4+\sqrt{7})/2}\approx1{,}822 e \sqrt{(4-\sqrt{7})/2}\approx0{,}823) e desenhe as retas verticais locais nesses x.
  • Desenhe os ramos respeitando as simetrias: haverá ramos cruzando o eixo y nos pontos (0,\pm1) e (0,\pm2) (com tangentes horizontais) e ramos cruzando o eixo x nos pontos (\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}},0) (com tangentes verticais). Use esses pontos e as simetrias para completar o esboço da curva.

Resposta

Horizontais: (0,1),\\ (0,-1),\\ (0,2),\\ (0,-2)
Verticais: \big(\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}},\,0\big),\\ \big(\pm\sqrt{\tfrac{4+\sqrt{7}}{2}},\,\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\big),\\ \big(\pm\sqrt{\tfrac{4-\sqrt{7}}{2}},\,\pm\sqrt{\tfrac{5}{2}}\big)

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