Para as seguintes equações definidas implicitamente, encontre os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical de forma analítica. Em seguida, faça o gráfico de cada curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical.
\left(y{2}-1\right)\left(y{2}-4\right)=x{2}\left(x{2}-4\right))
\left(y{2}-1\right)\left(y{2}-4\right)=x{2}\left(x{2}-4\right))
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente
e pede duas coisas: (1) encontrar, de forma analítica, os pontos onde a tangente é horizontal e onde é vertical; (2) desenhar (ou indicar como desenhar) o gráfico da curva mostrando pelo menos uma tangente horizontal e uma tangente vertical. As informações relevantes que temos são apenas a equação da curva e a necessidade de usar diferenciação implícita para obter a inclinação
.
Passo 2
Vamos obter a expressão de
por diferenciação implícita. Primeiro note que a função do lado esquerdo depende de
e do lado direito depende de
. Diferenciamos ambos os lados em relação a
, lembrando da regra da cadeia: se
é função de
, então
.
Escrevendo o lado esquerdo como polinômio em
:
Derivando termo a termo (lembrando que
é função de
):
O lado direito é
e sua derivada é
Igualando as derivadas:
Isolando
e simplificando (dividindo numerador e denominador por 2):
Explicação rápida das partes: o numerador
veio da derivada do lado direito e o denominador
veio da derivada do lado esquerdo após fatorar
. Essa é a fórmula que usamos para achar tangentes horizontais (quando
) e verticais (quando
não existe por divisão por zero).
Passo 3
Tangentes horizontais: condição analítica.
Uma tangente é horizontal quando (e o ponto pertence à curva), isto é quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero:
Uma tangente é horizontal quando
Da equação
obtemos duas possibilidades:
ou
(ou seja
).
-
Caso
: substituímos na equação da curva: Isso dáou , ou seja ou . Precisamos confirmar que o denominador não zera nesses pontos: para , ; para , . Então os pontos são pontos da curva com tangente horizontal. -
Caso
(ou ): substituímos na equação da curva; o lado direito fica . Então devemos ter Colocandoobtemos . O discriminante é , logo não há soluções reais para . Portanto não há pontos reais na curva com . Conclusão: as únicas tangentes horizontais reais são nos quatro pontos listados com .
Passo 4
Tangentes verticais: condição analítica.
Uma tangente é vertical quando é indefinido por divisão por zero, isto é quando o denominador é zero (e o numerador é não nulo), ou seja:
Uma tangente é vertical quando
As duas possibilidades são
ou
(ou
,
).
-
Caso
: substituímos na curva: Seja. Temos . Pela fórmula de Bhaskara: Apenasé admissível (a outra é negativa), logo Verificamos o numeradornesses pontos: e , então o numerador é não nulo. Portanto há tangentes verticais nos dois pontos -
Caso
(ou , ): substituímos no lado esquerdo: Assim o lado direito deve ser, ou seja, para vale Resolvendo:Ambas as raízes são positivas, então obtemos quatro valores de(duas raízes e sinal para ) para cada sinal de . Assim os pontos de tangente vertical são Verificamos o numerador: para essestemos e (os calculados não valem ), então o numerador não zera, confirmando tangentes verticais nesses pontos.
Passo 5
Equações das retas tangentes em exemplos representativos e indicação de como fazer o gráfico.
-
Tangentes horizontais encontradas: em qualquer ponto horizontal
a reta tangente tem equação horizontal . Portanto para os pontos encontrados: Por exemplo, no pontoa reta tangente é . -
Tangentes verticais encontradas: são retas verticais
. Por exemplo a reta tangente vertical em é
Como esboçar o gráfico: a curva é par em
e em
(trocar
por
ou
por
deixa a equação inalterada), e também simétrica pela troca
(lado esquerdo e direito têm o mesmo formato). Para um esboço prático:
- Marque os pontos
e e desenhe pequenas tangentes horizontais (linhas ). - Marque o ponto
(num valor aproximado ) e desenhe a reta vertical . Faça também o simétrico negativo . - Marque os pontos com
e os respectivos dados por (valores aproximados e ) e desenhe as retas verticais locais nesses . - Desenhe os ramos respeitando as simetrias: haverá ramos cruzando o eixo
nos pontos e (com tangentes horizontais) e ramos cruzando o eixo nos pontos (com tangentes verticais). Use esses pontos e as simetrias para completar o esboço da curva.
Resposta
Horizontais:
Verticais: