No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno
sobre a resistência mecânica da massa queimada (
). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
O desvio padrão dos resíduos,
.
O desvio padrão dos resíduos,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que estuda como a temperatura do forno
afeta a resistência mecânica da massa cerâmica
. Foram feitos 6 testes com temperaturas diferentes e as resistências obtidas foram: 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa. Nosso objetivo aqui é encontrar o desvio padrão dos resíduos, que a gente representa por $ s_{e} $. Para isso, vamos precisar usar a regressão linear, que é uma ferramenta estatística para entender a relação entre duas variáveis. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 6 observações com valores de $ X $ (temperatura) e $ Y $ (resistência). Vamos listar eles:
Agora, precisamos calcular a média de $ X $ e $ Y $, que vai nos ajudar nos próximos passos.
Cálculo da média de $ X $:
Cálculo da média de $ Y $:
Passo 3
Agora, vamos calcular duas coisas importantes: $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $. Essas somas vão nos ajudar a encontrar os coeficientes da nossa reta de regressão.
Vamos calcular cada termo:
Somando as colunas:
Passo 4
Com $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $ calculados, podemos encontrar os coeficientes $ b $ (inclinação) e $ a $ (intercepto) da nossa reta de regressão $ Y = a + bX $.
Então, nossa equação de regressão fica aproximadamente:
Passo 5
Agora, vamos usar essa equação para prever os valores de $ Y $ com base nos valores de $ X $. Esses valores previstos são chamados de $ \hat{Y} $.
Vamos calcular $ \hat{Y} $ para cada $ X $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os resíduos, que são as diferenças entre os valores observados $ Y $ e os valores previstos $ \hat{Y} $.
Calculando os resíduos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o somatório dos quadrados dos resíduos ($ SSE $):
Calculando cada quadrado:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos calcular o desvio padrão dos resíduos ($ s_{e} $). A fórmula é:
Onde:
- $ SSE $ é o somatório dos quadrados dos resíduos, que calculamos como aproximadamente 13,4185.
- $ n $ é o número de observações, que aqui é 6.
- $ p $ é o número de parâmetros estimados na regressão. Como temos a inclinação e o intercepto, $ p = 2 $.
Aplicando os valores:
Resposta
O desvio padrão dos resíduos, $ s_{e} $, é aproximadamente 1,832 MPa.