No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X) sobre a resistência mecânica da massa queimada ( Y ). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
O desvio padrão dos resíduos, se.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que estuda como a temperatura do forno (X) afeta a resistência mecânica da massa cerâmica (Y). Foram feitos 6 testes com temperaturas diferentes e as resistências obtidas foram: 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa. Nosso objetivo aqui é encontrar o desvio padrão dos resíduos, que a gente representa por $ s_{e} $. Para isso, vamos precisar usar a regressão linear, que é uma ferramenta estatística para entender a relação entre duas variáveis. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Temos 6 observações com valores de $ X $ (temperatura) e $ Y $ (resistência). Vamos listar eles:
X
Agora, precisamos calcular a média de $ X $ e $ Y $, que vai nos ajudar nos próximos passos.
Cálculo da média de $ X $:
Y
Cálculo da média de $ Y $:
c|c X & Y hline 1 & 41 2 & 42 3 & 50 4 & 53 5 & 54 6 & 60

Passo 3

Agora, vamos calcular duas coisas importantes: $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $. Essas somas vão nos ajudar a encontrar os coeficientes da nossa reta de regressão.
Sxy
Sxx
Vamos calcular cada termo:
Sxy = sum(Xi - barX)(Yi - barY)
Somando as colunas:
Sxx = sum(Xi - barX)^2
c|c|c|c|c Xi & Yi & Xi - barX & Yi - barY & (Xi - barX)(Yi - barY) hline 1 & 41 & -2,5 & -9 & 22,5 2 & 42 & -1,5 & -8 & 12 3 & 50 & -0,5 & 0 & 0 4 & 53 & 0,5 & 3 & 1,5 5 & 54 & 1,5 & 4 & 6 6 & 60 & 2,5 & 10 & 25

Passo 4

Com $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $ calculados, podemos encontrar os coeficientes $ b $ (inclinação) e $ a $ (intercepto) da nossa reta de regressão $ Y = a + bX $.
Sxy
Sxx
Então, nossa equação de regressão fica aproximadamente:
b

Passo 5

Agora, vamos usar essa equação para prever os valores de $ Y $ com base nos valores de $ X $. Esses valores previstos são chamados de $ \hat{Y} $.
Vamos calcular $ \hat{Y} $ para cada $ X $:
Y

Passo 6

Agora, vamos encontrar os resíduos, que são as diferenças entre os valores observados $ Y $ e os valores previstos $ \hat{Y} $.
Y
Calculando os resíduos:
Y

Passo 7

Agora, vamos calcular o somatório dos quadrados dos resíduos ($ SSE $):
SSE
Calculando cada quadrado:
SSE = sumei^2
Somando tudo:
c|c|c e & e^2 hline 0,5725 & 0,5725^2 approx 0,3278 -2,2565 & (-2,2565)^2 approx 5,0915 1,9145 & 1,9145^2 approx 3,6611 1,0855 & 1,0855^2 approx 1,1784 -1,7435 & (-1,7435)^2 approx 3,0377 0,4275 & 0,4275^2 approx 0,1831

Passo 8

Agora, vamos calcular o desvio padrão dos resíduos ($ s_{e} $). A fórmula é:
se
Onde:
  • $ SSE $ é o somatório dos quadrados dos resíduos, que calculamos como aproximadamente 13,4185.
  • $ n $ é o número de observações, que aqui é 6.
  • $ p $ é o número de parâmetros estimados na regressão. Como temos a inclinação e o intercepto, $ p = 2 $.
Aplicando os valores:
se = raizSSEn - p

Resposta

O desvio padrão dos resíduos, $ s_{e} $, é aproximadamente 1,832 MPa.

Exercícios relacionados