No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X) sobre a resistência mecânica da massa queimada ( Y ). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
O coeficiente R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que analisa como a temperatura do forno (X) afeta a resistência mecânica da massa cerâmica queimada (Y). Foram feitos 6 testes com temperaturas igualmente espaçadas, e as resistências medidas foram: 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa. A tarefa é encontrar o coeficiente R^2, que nos ajuda a entender o quanto a variação em X explica a variação em Y. Para isso, vamos precisar usar a regressão linear e calcular alguns valores básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados. Vamos numerar as temperaturas como 1, 2, 3, 4, 5 e 6 para facilitar. E as resistências correspondentes são 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa.
X Y
1 41
2 42
3 50
4 53
5 54
6 60

Passo 3

Agora, precisamos calcular alguns valores importantes:
  • Média de X ( X)
  • Média de Y ( Y)
  • Soma dos produtos XY
  • Soma de X^2
  • Soma de Y^2
Vamos calcular cada um:
X = 1+2+3+4+5+66 = 216 = 3,5
Y = 41+42+50+53+54+606 = 3006 = 50

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos produtos XY e as somas de X^2 e Y^2:
sum XY = (1 times 41) + (2 times 42) + (3 times 50) + (4 times 53) + (5 times 54) + (6 times 60) = 41 + 84 + 150 + 212 + 270 + 360 = 1117
sum X^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91
sum Y^2 = 41^2 + 42^2 + 50^2 + 53^2 + 54^2 + 60^2 = 1681 + 1764 + 2500 + 2809 + 2916 + 3600 = 15270

Passo 5

Com esses valores, podemos usar a fórmula da correlação de Pearson ( r):
r = n sum XY - sum X sum Yraiz(n sum X^2 - (sum X)^2)(n sum Y^2 - (sum Y)^2)
Onde n = 6.
Vamos substituir:
r = 6 times 1117 - 21 times 300raiz(6 times 91 - 21^2)(6 times 15270 - 300^2)
Calculando passo a passo:
Numerador:
6 times 1117 = 6702
21 times 300 = 6300
6702 - 6300 = 402
Denominador:
Primeira parte:
6 times 91 = 546
21^2 = 441
546 - 441 = 105
Segunda parte:
6 times 15270 = 91620
300^2 = 90000
91620 - 90000 = 1620
Agora,
raiz105 times 1620 = raiz170100 approx 412.5
Então,
r = 402412.5 approx 0,975

Passo 6

O coeficiente R^2 é simplesmente o quadrado da correlação r:
R^2 = r^2 = (0,975)^2 approx 0,9506
Isso significa que aproximadamente 95,06% da variação na resistência mecânica pode ser explicada pela variação na temperatura do forno.

Resposta

O coeficiente R^2 é aproximadamente 0,951.

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