No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X) sobre a resistência mecânica da massa queimada ( Y ). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
As estimativas de alpha e beta da equação de regressão E(Y)=alpha+beta x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de regressão linear juntos! A parada aqui é entender como a temperatura do forno (X) influencia a resistência mecânica da massa cerâmica queimada (Y). Vamos usar a equação de regressão $ E(Y) = \alpha + \beta X $ para encontrar os valores de E(Y) = alpha + beta X e alpha. Para isso, vamos precisar calcular médias, somas de produtos e aplicar algumas fórmulas de estatística básica.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Temperatura do forno (X): 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • Resistência mecânica (Y) em MPa: 41, 42, 50, 53, 54, 60

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de X e a média de Y. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
barX = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 = 216 = 3.5
barY = 41 + 42 + 50 + 53 + 54 + 606 = 3006 = 50

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a soma dos produtos das diferenças de cada ponto em relação às médias ( Sxy) e a soma dos quadrados das diferenças de X em relação à média ( Sxx).
Primeiro, calculamos $ (X_i - \bar{X}) $ e $ (Y_i - \bar{Y}) $ para cada par de dados:
(Xi - barX)
Somando esses valores:
(Yi - barY)
Agora, calculamos $ (X_i - \bar{X})^2 $ para cada X:
ccc Xi & Yi & (Xi - barX) times (Yi - barY) hline 1 & 41 & (1 - 3.5) times (41 - 50) = (-2.5)(-9) = 22.5 2 & 42 & (2 - 3.5) times (42 - 50) = (-1.5)(-8) = 12 3 & 50 & (3 - 3.5) times (50 - 50) = (-0.5)(0) = 0 4 & 53 & (4 - 3.5) times (53 - 50) = (0.5)(3) = 1.5 5 & 54 & (5 - 3.5) times (54 - 50) = (1.5)(4) = 6 6 & 60 & (6 - 3.5) times (60 - 50) = (2.5)(10) = 25
Somando esses valores:
Sxy = 22.5 + 12 + 0 + 1.5 + 6 + 25 = 67

Passo 5

Com $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $ calculados, podemos encontrar Sxy usando a fórmula:
Sxx

Passo 6

Agora que temos beta, vamos encontrar alpha usando a relação:
alpha = barY - beta barX = 50 - (3.8286 times 3.5) approx 50 - 13.40 = 36.60

Resposta

As estimativas da equação de regressão são:
alpha approx 36.60 e beta approx 3.83

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