No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno sobre a resistência mecânica da massa queimada ( ). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
0 teste estatístico
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. A gente está analisando como a temperatura do forno influencia a resistência mecânica da massa cerâmica queimada . Foram feitos 6 testes com temperaturas igualmente espaçadas e as resistências medidas foram: 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa. Nosso objetivo aqui é testar estatisticamente se a temperatura realmente afeta a resistência, ou seja, verificar se o coeficiente na relação entre e é diferente de zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco de regressão linear e teste de hipóteses.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que em uma regressão linear simples, a relação entre e é dada por:
Aqui, é o intercepto, é o coeficiente que mostra o quanto muda quando aumenta em uma unidade, e é o erro.
Nosso objetivo é testar a hipótese nula , que diz que a temperatura não tem efeito sobre a resistência mecânica, contra a hipótese alternativa , que diz que há um efeito.
Passo 3
Vamos precisar calcular alguns valores para realizar esse teste:
Média de X e Y: Calculamos a média das temperaturas e das resistências.
Soma dos Quadrados:
Total (SST): Mede a variação total em Y.
Regressão (SSR): Mede a variação explicada pela regressão.
Erro (SSE): Mede a variação não explicada.
Coeficiente de regressão (): Calculado como:
Erro padrão do coeficiente (SEbeta1): Indica a precisão da estimativa de beta1.
Estatística t: Usada para testar a hipótese:
t = beta1SEbeta1
Valor p: Determina a significância do resultado.
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
Dados:
Ensaio
X
Y
1
1
41
2
2
42
3
3
50
4
4
53
5
5
54
6
6
60
Médias:
X = 1+2+3+4+5+66 = 3.5
Y = 41+42+50+53+54+606 approx 50
Cálculo de beta1:
Primeiro, calculamos (Xi - X) e (Yi - Y) para cada ensaio:
Ensaio
Xi - X
Yi - Y
(Xi - X)(Yi - Y)
(Xi - X)^2
1
-2.5
-9
22.5
6.25
2
-1.5
-8
12
2.25
3
-0.5
0
0
0.25
4
0.5
3
1.5
0.25
5
1.5
4
6
2.25
6
2.5
10
25
6.25
Total
67
17.25
Então,
beta1 = 6717.25 approx 3.88
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão de beta1 (SEbeta1). Primeiro, precisamos do erro residual (SSE):
Para saber se esse t é significativo, com n-2=4 graus de liberdade, vamos comparar com um valor crítico da distribuição t. Para um nível de confiança comum (por exemplo, 5%), o valor crítico para dois lados e 4 graus de liberdade é aproximadamente 2.776.
Como 2.26 < 2.776, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de confiança.
Resposta
Após realizar os cálculos, obtemos um valor de t ≈ 2.26, que não é suficiente para rejeitar a hipótese nula H0: beta=0 ao nível de significância de 5%. Portanto, não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a temperatura do forno influencia significativamente a resistência mecânica da massa cerâmica queimada.