No processo de queima de massa cerâmica, avaliou-se o efeito da temperatura do forno (X) sobre a resistência mecânica da massa queimada ( Y ). Foram realizados 6 ensaios com níveis de temperatura equidistantes, os quais designaremos por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 . Os valores obtidos de resistência mecânica (MPa) foram: 41, 42, 50, 53, 54, 60, respectivamente. Pede-se:
0 teste estatístico H0: beta=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. A gente está analisando como a temperatura do forno (X) influencia a resistência mecânica da massa cerâmica queimada (Y). Foram feitos 6 testes com temperaturas igualmente espaçadas e as resistências medidas foram: 41, 42, 50, 53, 54 e 60 MPa. Nosso objetivo aqui é testar estatisticamente se a temperatura realmente afeta a resistência, ou seja, verificar se o coeficiente beta na relação entre X e Y é diferente de zero. Para isso, vamos precisar entender um pouco de regressão linear e teste de hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que em uma regressão linear simples, a relação entre X e Y é dada por:
Y = beta0 + beta1 X + varepsilon
Aqui, beta0 é o intercepto, beta1 é o coeficiente que mostra o quanto Y muda quando X aumenta em uma unidade, e varepsilon é o erro.
Nosso objetivo é testar a hipótese nula H0: beta1 = 0, que diz que a temperatura não tem efeito sobre a resistência mecânica, contra a hipótese alternativa Ha: beta1 neq 0, que diz que há um efeito.

Passo 3

Vamos precisar calcular alguns valores para realizar esse teste:
  1. Média de X e Y: Calculamos a média das temperaturas e das resistências.
  2. Soma dos Quadrados:
    • Total (SST): Mede a variação total em Y.
    • Regressão (SSR): Mede a variação explicada pela regressão.
    • Erro (SSE): Mede a variação não explicada.
  3. Coeficiente de regressão ( beta1): Calculado como:
beta1 = sum (Xi - X)(Yi - Y)sum (Xi - X)^2
  1. Erro padrão do coeficiente ( SEbeta1): Indica a precisão da estimativa de beta1.
  2. Estatística t: Usada para testar a hipótese:
t = beta1SEbeta1
  1. Valor p: Determina a significância do resultado.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Dados:
Ensaio X Y
1 1 41
2 2 42
3 3 50
4 4 53
5 5 54
6 6 60
  1. Médias:
X = 1+2+3+4+5+66 = 3.5
Y = 41+42+50+53+54+606 approx 50
  1. Cálculo de beta1:
Primeiro, calculamos (Xi - X) e (Yi - Y) para cada ensaio:
Ensaio Xi - X Yi - Y (Xi - X)(Yi - Y) (Xi - X)^2
1 -2.5 -9 22.5 6.25
2 -1.5 -8 12 2.25
3 -0.5 0 0 0.25
4 0.5 3 1.5 0.25
5 1.5 4 6 2.25
6 2.5 10 25 6.25
Total 67 17.25
Então,
beta1 = 6717.25 approx 3.88

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão de beta1 ( SEbeta1). Primeiro, precisamos do erro residual (SSE):
SSE = SST - SSR
Onde:
SST = sum (Yi - Y)^2 = (-9)^2 + (-8)^2 + 0^2 + 3^2 + 4^2 + 10^2 = 81 + 64 + 0 + 9 + 16 + 100 = 270
SSR = beta1 times sum (Xi - X)^2 = 3.88 times 17.25 approx 66.93
Então,
SSE = 270 - 66.93 approx 203.07
O erro padrão é calculado como:
SEbeta1 = raizSSEn-2 div sum (Xi - X)^2
Onde n=6, então n-2=4.
SEbeta1 = raiz203.074 div 17.25 = raiz50.767517.25 approx raiz2.943 approx 1.716

Passo 6

Agora, calculamos a estatística t:
t = 3.881.716 approx 2.26
Para saber se esse t é significativo, com n-2=4 graus de liberdade, vamos comparar com um valor crítico da distribuição t. Para um nível de confiança comum (por exemplo, 5%), o valor crítico para dois lados e 4 graus de liberdade é aproximadamente 2.776.
Como 2.26 < 2.776, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de confiança.

Resposta

Após realizar os cálculos, obtemos um valor de t ≈ 2.26, que não é suficiente para rejeitar a hipótese nula H0: beta=0 ao nível de significância de 5%. Portanto, não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que a temperatura do forno influencia significativamente a resistência mecânica da massa cerâmica queimada.

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