Um processo está sendo monitorado por um gráfico de controle para a fração nãoconforme. A média apresentada no processo foi de 0,07 . Os limites de controle 3 -sigma são usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400 itens.
a) Calcule os limites de controle superior e inferior. Resp.: L I C=0,0317, L C=0,07 e L S C=0,1083.
b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10 , qual a probabilidade de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente?
Resp.: 0,29116.
c) Qual é a probabilidade de que a mudança do item (b) fosse detectada na primeira ou segunda amostra tomada após a mudança?
Resp.: 0,49755.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pediu. A gente tem um processo monitorado por um gráfico de proporção não conforme (p-chart).
  • A proporção média observada é .
  • O tamanho da amostra diária é .
  • Usamos limites de controle de sigmas.
Conteúdo: estatística de controle (gráfico de proporção), distribuição amostral da proporção e aproximação normal.
O que precisamos:
  1. Calcular o desvio padrão da proporção: .
  2. Montar os limites e .
  3. Para , achar usando a normal padrão.
  4. Depois tirar a probabilidade de detectar na 1ª ou 2ª amostra.

Passo 2

Primeiro, calcula o sigma da proporção:
sigmahat p = raizbar p,(1-bar p)n = raiz0,07,(1-0,07)400 = raiz0,07 times 0,93400 = raiz0,0651400 = raiz0,00016275 approx 0,01276
Agora os limites de controle 3-sigma:
LCL = bar p - 3,sigmahat p = 0,07 - 3times0,01276 approx 0,0317,
CL = bar p = 0,07,
UCL = bar p + 3,sigmahat p = 0,07 + 3times0,01276 approx 0,1083

Passo 3

Agora, se o verdadeiro sigmahat p|p=0,10 = raiz0,10times0,90400 = raiz0,09400 = raiz0,000225 = 0,015 saltou para Z = UCL - 0,100,015 = 0,1083 - 0,100,015 approx 0,5533 , a gente quer
Pr(hat p > 0,1083) = 1 - Phi(0,5533) approx 1 - 0,709 = 0,291 . Sob , o desvio é
Transforma em padrão:
Então

Passo 4

Pra achar a chance de detectar na 1ª OU na 2ª amostra, usamos complemento de “não detectar nem na 1ª nem na 2ª”:
P(detecta na 1ª ou 2ª) = 1 - [1 - 0,29116]^2 = 1 - (0,70884)^2 approx 1 - 0,50245 approx 0,49755 ªª

Resposta

a) , ,
b) ª
c) ªª

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