Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha central de 0,01 e limites de controle 2 -sigma.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser não-nulo?
Resp.: n >= 397.
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior? Resp.: 0,0207.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre gráfico de controle para fração não-conforme (o famoso p-chart). A linha central é e os limites são a .
Precisamos de duas coisas:
  1. O tamanho de amostra tal que o limite inferior de controle (LCL) seja maior que zero.
  2. A probabilidade de detectar uma mudança de para na segunda amostra, usando esse .
Conteúdo envolvido: teoria de p-charts, cálculo de limites de controle e aproximação normal à binomial para estimar probabilidades de sinal.

Passo 2

Vamos achar o menor LCL = p0 - 2raizp0(1-p0)n > 0 que faz
p0 > 2raizp0(1-p0)n
Isso vem da fórmula geral do p-chart, onde o desvio padrão do estimador n > 4,p0(1-p0)p0^2 = 4(1-p0)p0 é n > 4(1-0,01)0,01 = 4cdot 0,990,01 = 396 . Queremos que
Isolando :
  1. Divide por 2: .
  2. Eleva ao quadrado: .
  3. Inverte e isola :
Substituindo :
Como tem que ser inteiro, .

Passo 3

Agora, com UCL = p0 + 2raizp0(1-p0)n = 0,01 + 2raiz0,01cdot 0,99397 approx 0,01999 , calculamos o limite superior de controle (UCL):
alpha1 = Pl(hat p > 0,01999r) approx 1 - Phi!l(0,01999 - 0,04raiztfrac0,04cdot 0,96397r),
Para uma mudança verdadeira em , a cada amostra a chance de “dar sinal” (i.e., ) é
onde é a CDF da normal padrão. Calculando:
  • Desvio sob : .
  • Z = .
  • Logo

Passo 4

Queremos a probabilidade de detectar na segunda amostra, ou seja:
1ª amostra não dispara (probabilidade P(sinal na 2ª) = (1-alpha1),alpha1 approx (1 - 0,9793)times 0,9793 = 0,0207 )
e 2ª amostra dispara ( ).
Então:
ª

Resposta

a)
b) Probabilidade de detecção na segunda amostra: (aprox.).

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