Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com linha central de 0,01 e limites de controle 2 -sigma.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser não-nulo?
Resp.:
.
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior? Resp.: 0,0207.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve ser não-nulo?
Resp.:
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na segunda amostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item anterior? Resp.: 0,0207.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre gráfico de controle para fração não-conforme (o famoso p-chart). A linha central é
e os limites são a
.
Precisamos de duas coisas:
Precisamos de duas coisas:
- O tamanho de amostra
tal que o limite inferior de controle (LCL) seja maior que zero. - A probabilidade de detectar uma mudança de
para na segunda amostra, usando esse .
Conteúdo envolvido: teoria de p-charts, cálculo de limites de controle e aproximação normal à binomial para estimar probabilidades de sinal.
Passo 2
Vamos achar o menor
que faz
Isso vem da fórmula geral do p-chart, onde o desvio padrão do estimador
é
. Queremos que
Isolando
:
- Divide por 2:
. - Eleva ao quadrado:
. - Inverte e isola
:
Substituindo
:
Como
tem que ser inteiro,
.
Passo 3
Agora, com
, calculamos o limite superior de controle (UCL):
Para uma mudança verdadeira em
, a cada amostra a chance de “dar sinal” (i.e.,
) é
onde
é a CDF da normal padrão. Calculando:
- Desvio sob
: . - Z =
. - Logo
Passo 4
Queremos a probabilidade de detectar na segunda amostra, ou seja:
1ª amostra não dispara (probabilidade )
e 2ª amostra dispara ( ).
Então:
1ª amostra não dispara (probabilidade
e 2ª amostra dispara (
Então:
Resposta
a)
b) Probabilidade de detecção na segunda amostra: (aprox.).
b) Probabilidade de detecção na segunda amostra: