Num processo de separação por gravidade (decantação) é utilizado um recipiente cúbico de 0,216 \mathrm{~m}^{3} com 0,072 \mathrm{~m}^{3} de água ( \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) no qual são jogados mil grãos de mesmo volume (considere um grão como uma esfera de volume 0,000009 \mathrm{~m}^{3} ). Existem dois tipos de grão: o primeiro tem densidade 10 \% maior que a da água enquanto que, o segundo, tem densidade 20 \% menor que a da água e é considerado “ruim”. Calcule a quantidade de grãos ruins existentes na amostra sabendo que houve um acréscimo de 0,023 \mathrm{~m} na altura da superfície livre da água.

Passo 1

O enunciado descreve uma decantação num cubo de volume total de 0,216, m^{3} que contém inicialmente 0,072, m^{3} de água \rho_{\rm água}=1000á,kg/ m^{3}). Jogam-se 1000 grãos esféricos, cada um com volume V_g=0,000009, m^{3}. Há grãos “bons” (densidade 1{,}1\rho_{\rm água}á que afundam e grãos “ruins” (densidade 0{,}8\rho_{\rm água}á) que flutuam parcialmente. Observou-se acréscimo de 0,023,m na altura da água. Queremos achar quantos grãos ruins há.

Passo 2

Como o cubo tem volume 0,216, m^{3}, o lado vale
\ell = \sqrt[3]{0,216} = 0,6\text{ m},
logo a área da base é
A = \ell^2 = 0,6^2 = 0,36\text{ m}^2.
O aumento de altura \Delta h=0,023,m deslocou de água o volume
V_{\rm disp} = A\,\Delta h = 0,36 \times 0,023 = 0,00828\text{ m}^3.

Passo 3

Cada grão tem volume total V_g=0,000009, m^{3}.
– Grãos densos afundam totalmente, deslocando V_g cada um.
– Grãos leves flutuam: o empuxo equilibra o peso, daí o volume submerso é
V_{\rm sub} = \frac{\rho_{\rm grão}}{\rho_{\rm água}}\,V_g = 0,8\,V_g = 0,0000072\text{ m}^3.ãá

Passo 4

Seja l o número de grãos ruins (flutuantes) e h o número de grãos densos. Temos
h + l = 1000
e o volume total deslocado é
V_{\rm disp} = h\,V_g + l\,V_{\rm sub} = \bigl(h + 0,8\,l\bigr)\,0,000009.
Igualando a 0,00828, m^{3} e substituindo h=1000-l, vem
\bigl(1000 - l + 0,8\,l\bigr)\,0,000009 = 0,00828 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(1000 - 0,2\,l\bigr)\,0,000009 = 0,00828.

Passo 5

Resolvendo para l:
1000 - 0,2\,l = \frac{0,00828}{0,000009} = 920
0,2\,l = 1000 - 920 = 80
l = \frac{80}{0,2} = 400.

Resposta

400 grãos ruins.

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