Um processo de tratamento de efluentes deve manter o pH médio igual a 6,5 . Uma amostra de 16 dias apresentou média 6,2 e desvio padrão 0,3 . Assuma distribuição normal.

Passo 1

O enunciado nos dá que o processo deve manter o pH médio igual a 6,5. Foi coletada uma amostra de 16 dias com média amostral \bar{x}=6,2 e desvio padrão amostral s=0,3. Assume-se que as medições seguem distribuição normal.\n
Pergunta implícita (o que normalmente se pede nesse tipo de questão): verificar se, com esses dados, temos evidência de que o processo não está mantendo a média 6,5 (ou seja, testar se a média verdadeira difere de 6,5). Também é útil construir um intervalo de confiança para a média para ver onde ela plausivelmente está.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicando por que):\n
  • A média populacional hipotética \mu_0 é 6,5 e queremos testar se a média verdadeira \mu é diferente.\n
  • A variância populacional não é conhecida (temos apenas s), e o tamanho da amostra é relativamente pequeno ( n=16).\n
    Por isso usamos o teste t de Student para a média (teste de hipótese para \mu quando \sigma é desconhecida). Não usei o teste z porque ele exige conhecer \sigma ou ter amostras grandes; o t é o procedimento padrão aqui.

Passo 3

Formulação do teste e a estatística:\n
  • Hipóteses (teste bilateral, que é o mais comum quando o enunciado diz “manter igual a”):\n
H_0:\mu=6,5\n
H_1:\mu\neq 6,5\n
  • Estatística de teste (explicando a fórmula):\n
    A estatística t mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada da hipótese. A fórmula é\n
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\n
onde \bar{x} é a média amostral ( 6,2), \mu_0 é a média sob H_0 ( 6,5), s é o desvio padrão amostral ( 0,3) e n é o tamanho da amostra ( 16). O denominador s/\sqrt{n} é o erro-padrão da média: ele representa a variabilidade esperada de \bar{x} entre amostras de tamanho n.\n
O número de graus de liberdade para esta estatística é n-1 (aqui, 15).

Passo 4

Cálculo numérico da estatística t (passo-a-passo):\n
  • Calcular o erro-padrão:\n
s/\sqrt{n}=\frac{0,3}{\sqrt{16}}=\frac{0,3}{4}=0,075\n
  • Calcular a diferença entre média amostral e hipótese:\n
\bar{x}-\mu_0=6,2-6,5=-0,3\n
  • Calcular t:\n
t=\frac{-0,3}{0,075}=-4,0\n
Portanto a estatística de teste vale t=-4,0 com 15 graus de liberdade. (O sinal negativo só indica que a média amostral está abaixo de 6,5; para um teste bilateral comparamos o valor absoluto |t|=4,0.)

Passo 5

Decisão do teste (usando nível de significância usual \alpha=0,05) e interpretação:\n
  • Para um teste bilateral com \alpha=0,05 e 15 graus de liberdade, o valor crítico é aproximadamente t_{0,025,15}\approx 2,131. Isso significa que rejeitamos H_0 se |t|>2,131.\n
  • Como |t|=4,0>2,131, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que a média verdadeira difere de 6,5.\n
  • Sobre o p-valor: com t= -4,0 e 15 graus de liberdade o p-valor bilateral é muito pequeno (aproximadamente 0,001); o essencial é que é menor que 0,01, portanto bem abaixo de 0,05. Isso reforça a decisão de rejeitar H_0.\n
  • Interpretação prática e empática: os dados mostram que, nos 16 dias amostrados, o pH médio observado ( 6,2) é significativamente menor que 6,5. Em termos práticos, o processo não está mantendo o pH no valor alvo — está, de fato, tendendo para valores mais baixos (mais ácidos). Dá para respirar fundo: a estatística falou alto, mas ainda é bom checar causas, instrumentação, e se a amostra é representativa.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança de 95\% (complemento que ajuda a entender a magnitude):\n
  • Fórmula do intervalo t de 95\%:\n
\bar{x}\pm t_{0,025,15}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\n
  • Já temos t_{0,025,15}\approx 2,131 e s/\sqrt{n}=0,075. A margem de erro é\n
2,131\times 0,075\approx 0,160\n
  • Logo o intervalo de 95\% é\n
6,2\pm 0,160\n
ou seja aproximadamente (6,04,\;6,36).\n
Esse intervalo não contém 6,5, o que está de acordo com o resultado do teste: a média plausível para o processo, com 95\% de confiança, está entre 6,04 e 6,36, claramente abaixo do alvo 6,5.

Passo 7

Resumo final (o que você deve levar para a prova e como justificar rapidamente):\n
  • Use o teste t de Student porque \sigma é desconhecida e n é pequeno.\n
  • Calcule o erro-padrão s/\sqrt{n}, depois a estatística t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n}).\n
  • Compare |t| com t_{0,025,n-1} para um teste bilateral ao nível 5\% (ou obtenha o p-valor via tabela/soft). Se |t| for maior, rejeite H_0.\n
  • No exercício: s/\sqrt{n}=0,075, t=-4,0, |t|=4,0>2,131 então rejeitamos H_0. P-valor muito pequeno (≈ 0,001). Intervalo de 95\%: (6,04,\;6,36).\n
    A moral: com esses dados há evidência forte de que o pH médio está abaixo do valor exigido 6,5. Boa notícia: agora você já sabe exatamente o procedimento para usar na prova — copia a fórmula do t, calcula o erro-padrão, e compara com a tabela. Você consegue!

Resposta

t=-4,0 (com 15 graus de liberdade); rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05.\n
p-valor bilateral \approx 0,001 (muito pequeno).\n
Intervalo de confiança de 95\% para \mu: (6,04,\;6,36).

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