Um processo de tratamento de efluentes deve manter o pH médio igual a 6,5 . Uma amostra de 16 dias apresentou média 6,2 e desvio padrão 0,3 . Assuma distribuição normal.
Passo 1
O enunciado nos dá que o processo deve manter o pH médio igual a
. Foi coletada uma amostra de
dias com média amostral
e desvio padrão amostral
. Assume-se que as medições seguem distribuição normal.\n
Pergunta implícita (o que normalmente se pede nesse tipo de questão): verificar se, com esses dados, temos evidência de que o processo não está mantendo a média (ou seja, testar se a média verdadeira difere de
). Também é útil construir um intervalo de confiança para a média para ver onde ela plausivelmente está.
Pergunta implícita (o que normalmente se pede nesse tipo de questão): verificar se, com esses dados, temos evidência de que o processo não está mantendo a média
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicando por que):\n
- A média populacional hipotética
é e queremos testar se a média verdadeira é diferente.\n - A variância populacional não é conhecida (temos apenas
), e o tamanho da amostra é relativamente pequeno ( ).\n
Por isso usamos o teste t de Student para a média (teste de hipótese paraquando é desconhecida). Não usei o teste z porque ele exige conhecer ou ter amostras grandes; o t é o procedimento padrão aqui.
Passo 3
Formulação do teste e a estatística:\n
- Hipóteses (teste bilateral, que é o mais comum quando o enunciado diz “manter igual a”):\n
- Estatística de teste (explicando a fórmula):\n
A estatística t mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada da hipótese. A fórmula é\n
onde
é a média amostral (
),
é a média sob
(
),
é o desvio padrão amostral (
) e
é o tamanho da amostra (
). O denominador
é o erro-padrão da média: ele representa a variabilidade esperada de
entre amostras de tamanho
.\n
O número de graus de liberdade para esta estatística é (aqui,
).
O número de graus de liberdade para esta estatística é
Passo 4
Cálculo numérico da estatística t (passo-a-passo):\n
- Calcular o erro-padrão:\n
- Calcular a diferença entre média amostral e hipótese:\n
- Calcular t:\n
Portanto a estatística de teste vale
com
graus de liberdade. (O sinal negativo só indica que a média amostral está abaixo de
; para um teste bilateral comparamos o valor absoluto
.)
Passo 5
Decisão do teste (usando nível de significância usual
) e interpretação:\n
- Para um teste bilateral com
e graus de liberdade, o valor crítico é aproximadamente . Isso significa que rejeitamos se .\n - Como
, rejeitamos ao nível de . Há evidência estatística de que a média verdadeira difere de .\n - Sobre o p-valor: com
e graus de liberdade o p-valor bilateral é muito pequeno (aproximadamente ); o essencial é que é menor que , portanto bem abaixo de . Isso reforça a decisão de rejeitar .\n - Interpretação prática e empática: os dados mostram que, nos
dias amostrados, o pH médio observado ( ) é significativamente menor que . Em termos práticos, o processo não está mantendo o pH no valor alvo — está, de fato, tendendo para valores mais baixos (mais ácidos). Dá para respirar fundo: a estatística falou alto, mas ainda é bom checar causas, instrumentação, e se a amostra é representativa.
Passo 6
Construção do intervalo de confiança de
(complemento que ajuda a entender a magnitude):\n
- Fórmula do intervalo t de
:\n
- Já temos
e . A margem de erro é\n
- Logo o intervalo de
é\n
ou seja aproximadamente
.\n
Esse intervalo não contém , o que está de acordo com o resultado do teste: a média plausível para o processo, com
de confiança, está entre
e
, claramente abaixo do alvo
.
Esse intervalo não contém
Passo 7
Resumo final (o que você deve levar para a prova e como justificar rapidamente):\n
- Use o teste t de Student porque
é desconhecida e é pequeno.\n - Calcule o erro-padrão
, depois a estatística .\n - Compare
com para um teste bilateral ao nível (ou obtenha o p-valor via tabela/soft). Se for maior, rejeite .\n - No exercício:
, , então rejeitamos . P-valor muito pequeno (≈ ). Intervalo de : .\n
A moral: com esses dados há evidência forte de que o pH médio está abaixo do valor exigido. Boa notícia: agora você já sabe exatamente o procedimento para usar na prova — copia a fórmula do t, calcula o erro-padrão, e compara com a tabela. Você consegue!
Resposta
p-valor bilateral
Intervalo de confiança de