Resolva cada equaão diferencial pelo método da variação de parâmetros.
y^prime prime prime-2 y^prime prime-y^prime+2 y=e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 3ª ordem
y''' - 2y'' - y' + 2y = e^3x
pelo método da variação de parâmetros. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes, onde primeiro achamos a solução complementar (solução homogênea) e depois aplicamos variação de parâmetros para obter a solução particular.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar, montamos a equação característica
r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0
Testando raízes inteiras, vemos que r=1 é raiz. Fazendo a divisão sintética ou fatorando, obtemos
$$r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r-1)(r^2 - r - 2) = (r-1)(r-2)(r+1).
r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r-1)(r^2 - r - 2) = (r-1)(r-2)(r+1) ãíãçãêéy_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x}.
$$

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, escolhemos
yp = u1(x)e^x + u2(x)e^2x + u3(x)e^-x,
com as condições auxiliares
$$
u1' e^x + u2' e^2x + u3' e^-x = 0, u1' e^x + 2u2' e^2x - u3' e^-x = 0, u1' e^x + 4u2' e^2x + u3' e^-x = e^3x
$$

Passo 4

Resolvendo esse sistema para u1', u2' e u3', obtemos após combinações:
u1' = -tfrac12 e^2x, u2' = tfrac13 e^x, u3' = tfrac16 e^4x

Passo 5

Integramos cada uma e, para obter apenas uma particular, descartamos as constantes de integração:
u1 = -tfrac14 e^2x, nu2 = tfrac13 e^x, nu3 = tfrac124 e^4x
Logo o termo particular é
yp = nu1 e^x + nu2 e^2x + nu3 e^-x = tfrac18 e^3x

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular. Portanto:

Passo 7

$$y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x} + \frac18 e^{3x}.
$$

Resposta

y(x)=C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^-x + 18e^3x

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