Seja
o sólido que está entre os cilindros circulares
e
, abaixo do cone
e asima do plano
.
Calcule o volume de
.
Calcule o volume de
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido limitado pelos cilindros e por um cone, ou seja, é um problema de cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar a descrição em coordenadas cilíndricas, a fórmula do jacobiano e integrar adequadamente nos limites definidos.
Passo 2
A projeção no plano xy é a região anelar dada por 1 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Para cada (r,θ) nessa região, z varia de z=0 até o cone z=3r (pois o cone é z=√(9x²+9y²)=3r). Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ. Assim, o volume fica:
dz
dr
dθ. Assim, o volume fica:
Passo 3
Agora a gente faz a integral interna em z:
Então
Passo 4
Por fim, integramos em r e θ: