Seja E o sólido que está entre os cilindros circulares x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9, abaixo do cone z^2=9 x^2+9 y^2 e asima do plano z=0.
Calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido limitado pelos cilindros e por um cone, ou seja, é um problema de cálculo de volume usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar usar a descrição em coordenadas cilíndricas, a fórmula do jacobiano e integrar adequadamente nos limites definidos.

Passo 2

A projeção no plano xy é a região anelar dada por 1 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Para cada (r,θ) nessa região, z varia de z=0 até o cone z=3r (pois o cone é z=√(9x²+9y²)=3r). Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ. Assim, o volume fica:
V = integral0^2piintegralr=1^3integralz=0^3r r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Agora a gente faz a integral interna em z:
integral0^3rr,dz = r,z|0^3r = 3r^2
Então
V = integral0^2piintegral1^33r^2,dr,dtheta

Passo 4

Por fim, integramos em r e θ:
integral1^33r^2,dr = 3cdotr^33|1^3 = 27-1 = 26,
V = integral0^2pi26,dtheta = 26cdot2pi = 52pi

Resposta

52pi

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