a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
Estamos com a equação diferencial em torno de . O conteúdo é solução em série de potências: vamos supor e usar as fórmulas de derivadas de séries para encontrar uma relação entre os coeficientes.
Passo 2
Derivando a série:
Passo 3
Multiplicando por em e rearranjando tudo em potências de traz
ou seja
Passo 4
Temos duas constantes livres: e . Vamos achar os primeiros termos até dar quatro em cada série:
Para a parte par (inicializado por ):
Passo 5
Para a parte ímpar (inicializado por ):
Passo 6
Assim as duas soluções ficam:
Passo 7
Para facilitar, escolhemos e nas duas séries.
O wronskiano em é
Passo 8
logo y1 e y2 são fundamentalmente independentes.
Examinando a relação de recorrência, nota-se que para k>=0
a2k=(-1)^k2^k k!(2k)!, a2k+1=(-1)^k2^k k!(2k+1)!
Resposta
a) A relação de recorrência é
an+2=-ann+1
b) Escolhendo a0=1,a1=0 e a1=1,a0=0, as duas séries até quatro termos são y1=1 - x^2 + x^43 - x^615 + cdots,
y2=x - x^3 + x^53 - x^715 + cdots
c) O wronskiano em 0 é W(y1,y2)(0)=1neq0, logo há um conjunto fundamental.
d) Os termos gerais são a2k=(-1)^k2^k k!(2k)!, a2k+1=(-1)^k2^k k!(2k+1)!