a. Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm que satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, x0=0

Passo 1

Estamos com a equação diferencial y'' + x,y' + 2y = 0 em torno de x0=0. O conteúdo é solução em série de potências: vamos supor y=sumn=0^infty an x^n e usar as fórmulas de derivadas de séries para encontrar uma relação entre os coeficientes.

Passo 2

Derivando a série:
y' = sumn=1^infty n,an x^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 3

Multiplicando por x em y' e rearranjando tudo em potências de x^m traz
(m+2)(m+1)am+2 + m,am +2,am =0,
ou seja
am+2 = -amm+1, m>=0

Passo 4

Temos duas constantes livres: a0 e a1. Vamos achar os primeiros termos até dar quatro em cada série:
Para a parte par (inicializado por a0):
a2=-a01, a4=-a23=a03, a6=-a45=-a015,dots

Passo 5

Para a parte ímpar (inicializado por a1):
a3=-a11, a5=-a33=a13, a7=-a55=-a115,dots

Passo 6

Assim as duas soluções ficam:
y1 = a0l(1 - x^2 + tfracx^43 - tfracx^615 + cdotsr),
y2 = a1l(x - x^3 + tfracx^53 - tfracx^715 + cdotsr)

Passo 7

Para facilitar, escolhemos a0=1 e a1=1 nas duas séries.
O wronskiano em x=0 é
W(y1,y2)(0)=y1(0)&y2(0)y1'(0)&y2'(0)=1&00&1=1neq0,

Passo 8

logo y1 e y2 são fundamentalmente independentes.
Examinando a relação de recorrência, nota-se que para k>=0
a2k=(-1)^k2^k k!(2k)!, a2k+1=(-1)^k2^k k!(2k+1)!

Resposta

a) A relação de recorrência é
an+2=-ann+1
b) Escolhendo a0=1,a1=0 e a1=1,a0=0, as duas séries até quatro termos são
y1=1 - x^2 + x^43 - x^615 + cdots,
y2=x - x^3 + x^53 - x^715 + cdots
c) O wronskiano em 0 é W(y1,y2)(0)=1neq0, logo há um conjunto fundamental.
d) Os termos gerais são
a2k=(-1)^k2^k k!(2k)!, a2k+1=(-1)^k2^k k!(2k+1)!

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