Procurem e definam a diferença entre centro de massa e centro de gravidade

Passo 1

O enunciado pede para distinguir o centro de massa do centro de gravidade, conceitos de Mecânica Clássica que envolvem distribuições de massa e forças gravitacionais. Para isso vamos usar as definições integrais desses pontos e ver em que situação eles coincidem ou diferem.

Passo 2

Definimos o centro de massa como o ponto \mathbf{r}_{\rm cm} que satisfaz
\mathbf{r}_{\rm cm} =\frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,\mathrm{d}m,
onde M=\int \mathrm{d}m é a massa total e \mathbf{r} é o vetor posição de cada elemento de massa \mathrm{d}m. Esse ponto só depende da distribuição de massa, não do campo gravitacional.

Passo 3

Definimos o centro de gravidade como o ponto \mathbf{r}_{\rm cg} onde se pode aplicar toda a força peso resultante sem alterar o momento da força. Em geral,
\mathbf{r}_{\rm cg} =\frac{1}{W}\int \mathbf{r}\,\mathrm{d}W =\frac{1}{\int g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}m}\int \mathbf{r}\,g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}m,
onde \mathrm{d}W=g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}m é o peso de cada elemento e g(\mathbf{r}) é a intensidade local da aceleração da gravidade.

Passo 4

Comparando as definições:
  1. Centro de massa só leva em conta \mathrm{d}m.
  2. Centro de gravidade pondera cada \mathrm{d}m por g(\mathbf{r}).
  3. Se g(\mathbf{r}) for uniforme (campo gravitacional constante), então
\mathbf{r}_{\rm cg} =\frac{1}{g\int \mathrm{d}m}\int \mathbf{r}\,g\,\mathrm{d}m =\frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,\mathrm{d}m =\mathbf{r}_{\rm cm}.
  1. Se o campo variar significativamente (em astrofísica, por exemplo), \mathbf{r}_{\rm cg} difere de \mathbf{r}_{\rm cm}.

Resposta

O centro de massa é
\mathbf{r}_{\rm cm} =\frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,\mathrm{d}m,
depende só da massa.
O centro de gravidade é
\mathbf{r}_{\rm cg} =\frac{1}{\int g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}m}\int \mathbf{r}\,g(\mathbf{r})\,\mathrm{d}m,
pondera pelo campo gravitacional. Em campo uniforme, \mathbf{r}_{\rm cg}=\mathbf{r}_{\rm cm}; caso contrário, eles são distintos.

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