Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int_{-1}^{2}\left(2 x^{5}-\frac{1}{3} x^{4}+\frac{1}{4} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular tanto a integral indefinida
\int\!\bigl(2x^{5}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{4}x\bigr)\,dx
quanto a integral definida
\int_{-1}^{2}\!\bigl(2x^{5}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{4}x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a noção de antiderivada de polinômio, usando que \displaystyle\int x^{n}\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Vamos achar a integral indefinida termo a termo. Para \displaystyle\int 2x^{5}\,dx
temos
\int 2x^{5}\,dx = 2\cdot\frac{x^{6}}{6} = \frac{x^{6}}{3}.
Para \displaystyle\int -\tfrac{1}{3}x^{4}\,dx
temos
\int -\tfrac{1}{3}x^{4}\,dx = -\tfrac{1}{3}\cdot\frac{x^{5}}{5} = -\frac{x^{5}}{15}.
Para \displaystyle\int \tfrac{1}{4}x\,dx
temos
\int \tfrac{1}{4}x\,dx = \tfrac{1}{4}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{8}.
Somando tudo e adicionando a constante C,
F(x) = \frac{x^{6}}{3} - \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{2}}{8} + C.

Passo 3

Para a integral definida, usamos essa antiderivada sem o C e avaliamos de -1 a 2:
\int_{-1}^{2}\!\bigl(2x^{5}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{4}x\bigr)\,dx = F(2)-F(-1).

Passo 4

Calculamos separadamente:
Para x=2,
F(2)=\frac{2^{6}}{3}-\frac{2^{5}}{15}+\frac{2^{2}}{8} =\frac{64}{3}-\frac{32}{15}+\frac{4}{8} =\frac{640}{30}-\frac{64}{30}+\frac{15}{30} =\frac{591}{30} =\frac{197}{10}.
Para x=-1,
F(-1)=\frac{(-1)^{6}}{3}-\frac{(-1)^{5}}{15}+\frac{(-1)^{2}}{8} =\frac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{15}\bigr)+\frac{1}{8} =\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{8} =\frac{40+8+15}{120} =\frac{63}{120} =\frac{21}{40}.
Logo,
F(2)-F(-1)=\frac{197}{10}-\frac{21}{40} =\frac{788}{40}-\frac{21}{40} =\frac{767}{40}.

Resposta

Integral indefinida:
\int\!\bigl(2x^{5}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{4}x\bigr)\,dx = \frac{x^{6}}{3} - \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{2}}{8} + C.
Integral definida:
\int_{-1}^{2}\!\bigl(2x^{5}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{1}{4}x\bigr)\,dx = \frac{767}{40}.

Exercícios relacionados