Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo:
\int_{1}^{4} \frac{x^{3}+2 \sqrt{x}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{1}^{4}\frac{x^{3}+2\sqrt{x}}{x}\,dx
Isso envolve duas etapas: simplificar o integrando e usar a regra de potência para obter a primitiva (integral indefinida) e em seguida avaliar o valor definido de 1 a 4.

Passo 2

Simplificamos o integrando dividindo cada termo por x:
\frac{x^{3}+2\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2\sqrt{x}}{x} = x^{2} + 2x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Para obter a primitiva, usamos a regra de potência \int x^{n}dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Logo,
\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 2x^{-\tfrac12}dx = 2\cdot\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 4x^{\tfrac12}.
Assim, a primitiva geral é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} + 4\sqrt{x} + C.

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva de x=1 até x=4:
\left[\frac{x^{3}}{3} + 4\sqrt{x}\right]_{1}^{4} = \biggl(\frac{4^{3}}{3} + 4\cdot2\biggr) - \biggl(\frac{1^{3}}{3} + 4\cdot1\biggr) = \frac{64}{3} + 8 - \Bigl(\frac{1}{3} + 4\Bigr) = \frac{64 + 24 - 1 - 12}{3} = \frac{75}{3} = 25.

Resposta

A primitiva geral é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+4\sqrt{x}+C
e o valor da integral definida de 1 a 4 é 25.

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