Sabe-se, por experiência, que o tempo necessário para que funcionários de uma fábrica montem certo brinquedo segue uma distribuição normal com média mu (desconhecida) e desvio padrão igual a 7 minutos. Após selecionar 49 funcionários ao acaso, encontrou-se que o tempo médio para montar o brinquedo foi de 15 minutos. Construa um intervalo de confiança de 96% para mu.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que o tempo que os funcionários levam para montar um brinquedo segue uma distribuição normal, com média desconhecida mu e desvio padrão de 7 minutos. Selecionamos 49 funcionários ao acaso e encontramos que o tempo médio para montar o brinquedo foi de 15 minutos. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 96% para a média mu.
Aqui, vamos utilizar conceitos de estatística, especificamente intervalo de confiança para uma média quando conhecemos o desvio padrão da população. Precisamos saber sobre a distribuição normal e como calcular intervalos de confiança usando a distribuição z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão da população ( sigma) é conhecido:
barx pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para um nível de confiança de 1 - alpha.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Nosso nível de confiança é de 96%, ou seja, 1 - alpha = 0,96, então alpha = 0,04. Como o teste é bilateral, dividimos alpha por 2: alpha/2 = 0,02.
Precisamos encontrar o valor crítico zalpha/2 que corresponde a uma área de 0,02 na cauda da distribuição normal. Usando uma tabela z ou uma calculadora, encontramos que:
z0,02 approx 2,054

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
sigmaraizn = 7raiz49 = 77 = 1
Em seguida, calculamos a margem de erro:
zalpha/2 cdot sigmaraizn = 2,054 times 1 = 2,054

Passo 5

Com a margem de erro calculada, podemos construir o intervalo de confiança:
barx pm Mar>=m de Erro = 15 pm 2,054
Isso nos dá os limites inferior e superior do intervalo:
  • Limite Inferior: 15 - 2,054 = 12,946
  • Limite Superior: 15 + 2,054 = 17,054

Resposta

O intervalo de confiança de 96% para a média mu é aproximadamente (12,95 minutos, 17,05 minutos).

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