A produção anual de um país é dada por
Q(K, L)=150[0,4 K^-12+0,6 L^-12]^-2
Unidades, em que K é o capital imobilizado em milhões de dólares e L é o volume de mão de obra em milhares de homens-horas.
b) No momento, o capital imobilizado é de 5,041 bilhões de dólares ( K=5.041 ) e o volume de mão de obra é 4.900.000 homens-horas (L=4.900). Calcule as produtividades marginais QK e QL para esses valores de K e L.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção
Q(K,L)=150l[0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12r]^-2
e pede as produtividades marginais QK e QL no ponto K=5,041 e L=4900. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(K,L)=0,4,K^-tfrac12+0,6,L^-tfrac12
e reescrevemos
Q(K,L)=150,u^-2
Aplicando derivada parcial em K:
QK=150cdot(-2),u^-3partial upartial K
onde
partial upartial K=0,4cdotl(-tfrac12r)K^-tfrac32=-0,2,K^-tfrac32
Logo,
QK= -300,u^-3,(-0,2,K^-tfrac32)=60,K^-tfrac32,u^-3
De modo análogo em L:
QL=150(-2)u^-3l(0,6(-tfrac12)L^-tfrac32r)=90,L^-tfrac32,u^-3

Passo 3

Agora calculamos as potências de K e L:
K^-tfrac12=(5,041)^-tfrac12approx0,4455,
L^-tfrac12=(4900)^-tfrac12=170approx0,0142857

Passo 4

Com esses valores, obtemos
u=0,4times0,4455+0,6times0,0142857approx0,1868,
u^-3approxl(0,1868r)^-3approx153,6

Passo 5

Substituímos em QK e QL:
QK=60,(0,4455)^3times153,6approx815,5,
QL=90,(0,0142857)^3times153,6approx0,0403

Resposta

QKapprox815,5 e QLapprox0,0403

Exercícios relacionados