Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da EDO dada.
y^prime prime-y=0 y1(x)=senh x, y2(x)=cosh x

Passo 1

Temos a EDO y''-y=0 e as funções y1(x)=sinh x e y2(x)=cosh x. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e independência linear de soluções.

Passo 2

Para verificar que y1 é solução, calculamos suas derivadas: y1'(x)=cosh x e y1''(x)=sinh x. Substituindo na EDO:
y1''-y1=sinh x-sinh x=0,
logo y1 satisfaz a equação.

Passo 3

Para verificar que y2 é solução, calculamos suas derivadas: y2'(x)=sinh x e y2''(x)=cosh x. Substituindo na EDO:
y2''-y2=cosh x-cosh x=0,
logo y2 satisfaz a equação.

Passo 4

Para checar independência, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)=sinh x & cosh x cosh x & sinh x=sinh xcdotsinh x-cosh xcdotcosh x=-1neq0
Como o Wronskiano não é zero em nenhum ponto, y1 e y2 são linearmente independentes.

Resposta

As funções y1(x)=sinh x e y2(x)=cosh x são soluções da EDO y''-y=0 e têm Wronskiano W=-1neq0, logo são linearmente independentes.

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