A produção de uma certa máquina distribui-se normalmente, com diâmetro médio de 6 cm e desvio padrão 0,12 \mathrm{~cm}. As peças fora do intervalo 6 \pm 0,24 \mathrm{~cm} são consideradas defeituosas.
Qual a procentagem de peças defeituosas na produção diária? ( 4,56 \% )

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro X das peças segue uma distribuição normal com média \mu=6 cm e desvio-padrão \sigma=0,12 cm. Peças com diâmetro fora do intervalo [6-0,24,\,6+0,24] são defeituosas. Para resolver, vamos usar propriedades da distribuição normal e a tabela (ou função) de \Phi, a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 2

A porcentagem de peças defeituosas é
P\bigl(|X-6|>0,24\bigr) = P\bigl(X<5,76\bigr) + P\bigl(X>6,24\bigr).

Passo 3

Padronizando com Z=\frac{X-6}{0,12}, temos
P\bigl(X<5,76\bigr)=P\bigl(Z<\tfrac{5,76-6}{0,12}\bigr)=P(Z<-2),
P\bigl(X>6,24\bigr)=P\bigl(Z>\tfrac{6,24-6}{0,12}\bigr)=P(Z>2).
Logo
P\bigl(|X-6|>0,24\bigr)=P(Z<-2)+P(Z>2).

Passo 4

Pela simetria da normal padrão,
P(Z<-2)=P(Z>2)=1-\Phi(2).
Assim
P\bigl(|X-6|>0,24\bigr) =2\bigl(1-\Phi(2)\bigr) =2\,(1-0,9772) =2\times0,0228 =0,0456.

Resposta

A porcentagem de peças defeituosas é de 4,56\%.

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