Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste dos pneus e verificou que a duração é normal com \mu=55000 \mathrm{Km} e \sigma=2000 \mathrm{Km}. Qual é a probabilidade de que um pneu escolhido ao acaso:
a) dure mais de 52000 Km ?
b) dure exatamente 53000 Km ?
c) dure entre 53000 e 56000 Km ?
d) Sabendo-se que a fábrica substitui os pneus que apresentam duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de pneus substituídos seja inferior a 5 \% ? ( 51720 Km )

Passo 1

O enunciado diz que a duração X dos pneus é \emph{normal} com média \mu=55000 Km e desvio-padrão \sigma=2000 Km. Precisamos calcular probabilidades do tipo P(X>a), P(X=b), P(a\le X\le b) e encontrar um quantil para que P(X<\text{garantia})=0,05. Para isso vamos usar a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
e a função de distribuição acumulada da normal padrão, \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 2

Queremos
P(X>52000).
Padronizando:
P(X>52000)=P\!\Bigl(Z>\frac{52000-55000}{2000}\Bigr) =P\bigl(Z>-1,5\bigr).
Como P(Z>-1,5)=1-\Phi(-1,5) e pela simetria \Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5), obtemos
P(X>52000)=\Phi(1,5)\approx0,9332.

Passo 3

Para uma variável contínua, a probabilidade de cair exatamente num ponto é zero. Logo,
P(X=53000)=0.

Passo 4

Queremos
P(53000\le X\le 56000).
Padronizando as duas extremidades:
z_1=\frac{53000-55000}{2000}=-1, \quad z_2=\frac{56000-55000}{2000}=0,5.
Então
P(53000\le X\le 56000) =\Phi(0,5)-\Phi(-1) \approx0,6915-0,1587=0,5328.

Passo 5

Buscamos a garantia g tal que P(X<g)=0,05. Isso significa
\Phi\!\Bigl(\frac{g-55000}{2000}\Bigr)=0,05.
O valor de z que satisfaz \Phi(z)=0,05 é z\approx-1,645. Logo,
\frac{g-55000}{2000}=-1,645 \implies g=55000-1,645\cdot2000\approx51710\\ (\text{aprox }51720\text{ Km}).

Resposta

a) 0,9332
b) 0
c) 0,5328
d) Aproximadamente 51720 Km

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