Os pesos das peças produzidas por uma máquina (produção de 5.000 peças/dia) seguem distribuição normal com uma média de 20 g e desvio padrão de 1,25 g. Foi selecionada uma amostra 16 peças:
a) Quais serão a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias?
b) Qual a probabilidade de encontrarmos uma peça escolhida dessa produção com dimensão entre 19,3g e 20,5 g ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente está lidando com a distribuição normal, que é super comum em estatística para modelar coisas como o peso das peças produzidas por uma máquina. Aqui, a média do peso é de 20 gramas e o desvio padrão é de 1,25 , g. Vamos precisar entender sobre distribuição amostral das médias e calcular probabilidades usando a distribuição normal. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias.
Quando a gente tem uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma, e pega uma amostra de tamanho n, a média das amostras também segue uma distribuição normal.
Média da distribuição amostral ( muX):
A média das médias amostrais é igual à média da população.
muX = mu = 20 , g
Desvio padrão da distribuição amostral ( sigmaX):
O desvio padrão das médias amostrais é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
sigmaX = sigmaraizn = 1,25raiz16 = 1,254 = 0,3125 , g

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ter um peso entre 19,3g e 20,5g.
Aqui a gente usa a distribuição normal padrão. Primeiro, vamos transformar os valores de peso em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão um valor está afastado da média.
Calculando o escore z para 19,3g:
z1 = 19,3 - musigma = 19,3 - 201,25 = -0,71,25 = -0,56
Calculando o escore z para 20,5g:
z2 = 20,5 - musigma = 20,5 - 201,25 = 0,51,25 = 0,4
Agora, precisamos encontrar a probabilidade entre z1 = -0,56 e z2 = 0,4. Isso geralmente se faz usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora estatística.
Usando a tabela Z:
  • P(Z < 0,4) approx 0,6554
  • P(Z < -0,56) approx 0,2877
Então, a probabilidade de Z estar entre -0,56 e 0,4 é:
P(-0,56 < Z < 0,4) = P(Z < 0,4) - P(Z < -0,56) = 0,6554 - 0,2877 = 0,3677
Convertendo para porcentagem:
0,3677 times 100 approx 36,77%

Resposta

a) A média da distribuição amostral é 20 , g e o desvio padrão é 0,3125 , g.
b) A probabilidade de encontrar uma peça com peso entre 19,3 , g e 20,5 , g é aproximadamente 36,77%.

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