A produção diária de uma máquina apresenta-se normalmente distribuída com média de 880 ton/dia. A produção diária para 50 dias amostrados forneceu uma produção diária média de 870 ton/dia e desvio padrão de 21 ton/dia. Ao nível de significância de 1 %, podemos afirmar que houve uma queda na produção diária da máquina?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de estatística aqui. A questão fala sobre a produção diária de uma máquina que, em média, produz 880 toneladas por dia. Coletamos dados de 50 dias e vimos que a média foi de 870 toneladas, com um desvio padrão de 21 toneladas. Queremos saber, com 99% de confiança (nível de significância de 1%), se essa queda na produção é significativa ou pode ser apenas por acaso. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Hipótese para a média de uma população.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula (H₀) é que a média de produção continua sendo 880 toneladas por dia. A hipótese alternativa (H₁) é que a média diminuiu, ou seja, é menor que 880 toneladas por dia. Isso porque queremos testar se realmente houve uma queda.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste z. A fórmula para o z é:
z = barx - musigmaraizn
onde:
  • é a média amostral (870),
  • é a média populacional (880),
  • é o desvio padrão (21),
  • é o tamanho da amostra (50).

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
z = 870 - 88021raiz50 = -10217,071 = -102,97 approx -3,37

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 1%. Como é um teste unilateral (queremos saber se diminuiu), olhamos a tabela z para 0,01. O valor crítico é aproximadamente -2,33.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de z (-3,37) com o valor crítico (-2,33). Como -3,37 é menor que -2,33, a gente está na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 7

Isso significa que a probabilidade de obtermos uma média de 870 toneladas ou menos, assumindo que a média real é 880 toneladas, é menor que 1%. Ou seja, é muito improvável que essa queda seja apenas por acaso.

Resposta

Sim, ao nível de significância de 1%, podemos afirmar que houve uma queda significativa na produção diária da máquina.

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