Em uma grande empresa verificou-se que a proporção de empregados do sexo masculino era de 40 %. Em uma amostra aleatória de 144 empregados dessa empresa, qual a probabilidade de que:
a) A proporção de empregados do sexo masculino na amostra seja pelo menos 50 % ?
b) A proporção de empregados do sexo feminino na amostra esteja entre 45 % e 55 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que em uma grande empresa, 40% dos empregados são homens. A gente pegou uma amostra aleatória de 144 empregados e queremos saber qual a probabilidade de, nessa amostra, pelo menos 50% serem homens. Vamos usar a estatística de proporção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção verdadeira de homens na empresa, que é sigmap = raizp(1 - p)n = raiz0,40 times 0,60144 approx 0,0400 . Como a amostra é grande (n = 144), podemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição da proporção amostral.
A média da proporção amostral é a mesma da população, .
O desvio padrão da proporção amostral é dado por:

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de que a proporção de homens na amostra seja pelo menos 50%, ou seja, z = p - mupsigmap = 0,50 - 0,400,0400 = 0,100,0400 = 2,5 .
Vamos calcular o valor z correspondente a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a probabilidade de P(Z >= 2,5) approx 0,0062 . Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,62% de chance de que, na amostra, pelo menos 50% sejam homens.

Passo 5

Agora, na parte b, a gente quer saber a probabilidade de que a proporção de mulheres na amostra esteja entre 45% e 55%. Sabemos que se 40% são homens, então 60% são mulheres na população.

Passo 6

Vamos definir sigmaq = raizq(1 - q)n = raiz0,60 times 0,40144 approx 0,0400 como a proporção de mulheres na população. A amostra também é grande (n = 144), então usamos a distribuição normal para aproximar.
A média da proporção amostral de mulheres é .
O desvio padrão é:

Passo 7

Queremos a probabilidade de z1 = 0,45 - 0,600,0400 = -0,150,0400 = -3,75 .
Vamos calcular os valores z para z2 = 0,55 - 0,600,0400 = -0,050,0400 = -1,25 e :

Passo 8

Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
P(-3,75 <= Z <= -1,25)
Consultando a tabela de distribuição normal:
P(Z <= -1,25) approx 0,1056
P(Z <= -3,75) approx 0,00009
Então,
P(-3,75 <= Z <= -1,25) = 0,1056 - 0,00009 approx 0,1055
Isso equivale a aproximadamente 10,55%.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 144 empregados, a proporção de mulheres esteja entre 45% e 55% é aproximadamente 10,55%.

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