Resolva a E.D.O abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) que é $ y’’ - 2y’ + y = e^{x} $. Ela é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - 2y’ + y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução é da forma $ y = e^{rx} $. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, resolvemos $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $:
Como o discriminante $ \Delta = 0 $, temos raízes reais e iguais:
Passo 4
Como temos uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{P} $ para a equação completa $ y’’ - 2y’ + y = e^{x} $. Como o termo do lado direito é $ e^{x} $ e já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para encontrar uma solução particular adequada.
Assumimos então:
Passo 6
Derivando $ y_{P} $:
Substituindo $ y_{P} $, $ y_{P}’ $ e $ y_{P}’’ $ na equação original:
Simplificando:
Isso nos leva a um problema, já que obtemos $ 0 = e^{x} $, que não faz sentido. Isso acontece porque nossa suposição para $ y_{P} $ está na solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos por $ x $ novamente.
Assumimos então:
Passo 7
Derivando $ y_{P} $:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.