Resolva a E.D.O abaixo
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (E.D.O) que é $ y’’ - 2y’ + y = e^{x} $. Ela é uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - 2y’ + y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução é da forma $ y = e^{rx} $. Derivando, temos:
y'' - 2y' + y = 0
Substituindo na equação homogênea:
y = e^rx
Como $ e^{rx} $ nunca é zero, resolvemos $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ r^{2} - 2r + 1 = 0 $:
r^2 - 2r + 1 = 0
Como o discriminante $ \Delta = 0 $, temos raízes reais e iguais:
De

Passo 4

Como temos uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{P} $ para a equação completa $ y’’ - 2y’ + y = e^{x} $. Como o termo do lado direito é $ e^{x} $ e já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para encontrar uma solução particular adequada.
Assumimos então:
yP

Passo 6

Derivando $ y_{P} $:
yP
Substituindo $ y_{P} $, $ y_{P}’ $ e $ y_{P}’’ $ na equação original:
yP' = A e^x + A x e^x yP'' = A e^x + A e^x + A x e^x = 2A e^x + A x e^x
Simplificando:
yP
Isso nos leva a um problema, já que obtemos $ 0 = e^{x} $, que não faz sentido. Isso acontece porque nossa suposição para $ y_{P} $ está na solução homogênea. Para resolver isso, multiplicamos por $ x $ novamente.
Assumimos então:
yP'

Passo 7

Derivando $ y_{P} $:
yP
Substituindo na equação original:
yP' = 2A x e^x + A x^2 e^x yP'' = 2A e^x + 2A x e^x + 2A x e^x + A x^2 e^x = 2A e^x + 4A x e^x + A x^2 e^x
Simplificando:
(2A e^x + 4A x e^x + A x^2 e^x) - 2(2A x e^x + A x^2 e^x) + A x^2 e^x = e^x
Então:
2A e^x + 4A x e^x + A x^2 e^x - 4A x e^x - 2A x^2 e^x + A x^2 e^x = e^x 2A e^x + 0 x e^x + 0 x^2 e^x = e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (C1 + C2 x) e^x + 12 x^2 e^x
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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