EM UMA PRODUÇÃO DE INDÚSTRIA DE ALIMENTOS, O PESO (g) DE ACHOCOLATADO ENLATADO É CONSIDERADO COMO TENDO DISTRIBUIÇÃO NORMAL, COM MÉDIA 301g E DESVIO PADRÃO 1 g (DADOS DA DISTRIBUIÇÃO NATURAL DO PROCESSO). JÁ A ESPECIFICAÇÃO DO SETOR DE CONTROLE DE QUALIDADE ESTIPULA QUE A QUANTIDADE DE MASSA NÃO DEVE SER MENOR QUE 298g, SENDO ESSE O LIMITE INFERIOR DE ESPECIFICAÇÃO (LIE). O MESMO SETOR TAMBÉM ESTIPULA QUE O PESO NÃO DEVA SUPERAR 302g, SENDO ESSE O LIMITE SUPERIOR DE ESPECIFICAÇÃO (LSE). DESSA FORMA, SUPONHA A PRODUÇÃO DE UM LOTE DE 10.000 LATAS DE ACHOCOLATADO.
4A) QUAL A VARIÁVEL ALEATÓRIA DE INTERESSE. JUSTIFIQUE PORQUE A VARIÁVEL EM QUESTÃO É CONSIDERADA ALEATÓRIA (RESPONDA CONTEXTUALIZANDO COM O ENUNCIADO).
4B) ESTA VARIÁVEL ALEATÓRIA É DISCRETA OU CONTÍNUA? JUSTIFIQUE.
4C) COM BASE NA RESPOSTA ANTERIOR, AS PROBABILIDADES DOS POSSÍVEIS RESULTADOS DESSA VARIÁVEL PODEM EXPRESSOS POR UMA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE OU POR UMA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE? JUSTIFIQUE.
4D) QUAL MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ESPECÍFICO ESTÁ SENDO USADO, CONFORME O ENUNCIADO.
4E) QUAIS OS PARÂMETROS DE POSIÇÃO (LOCAÇÃO) E DE ESCALA (DISPERSÃO OU VARIAÇÃO) DESSA DISTRIBUIÇÃO EM QUESTÃO.
4F) COMO ESSES PARÂMETROS ATUAM NA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA)?
4G) QUAL A PROBABILIDADE DE HAVER UM PRODUTO PRODUZIDO FORA DE ESPECIFICAÇÃO, QUANDO SORTEADO ALEATORIAMENTE?
4H) CONFORME O ITEM ANTERIOR, QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS PRODUZIDOS FORA DE ESPECIFICAÇÃO?
4I) QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS ABAIXO DO LIE?
4J) QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS ACIMA DO LSE?
4K) QUAL A QUANTIDADE ESPERADA DE PRODUTOS FORA DE ESPECIFICA DENTRE OS 10.000 MANUFATURADOS?
4L) QUANTOS DESVIOS PADRÕES EXISTEM ENTRE O CENTRO DE MASSA DA DISTRIBUIÇÃO DO PESO E O LIE? APRESENTE AS CONTAS E A UTILIDADE DESSES RESULTADOS OBTIDOS.
4M) QUANTOS DESVIOS PADRÕES EXISTEM ENTRE O CENTRO DE MASSA DA DISTRIBUIÇÃO DO PESO E O LIE? APRESENTE AS CONTAS APRESENTE AS CONTAS E A UTILIDADE DESSES RESULTADOS OBTIDOS.
4N) A TOLERÂNCIA NATURAL DO PESO DO ACHOCOLATADO É DADA POR 6G, O QUE CORRESPONDE À AMPLITUDE NATURAL DOS RESULTADOS DO PESO, POIS ENGLOBA A ESMAGADORA MAIORIA DOS ITENS PRODUZIDOS. OS LIMITES DE TOLERÂNCIA NATURAL PODEM SER OBTIDOS CALCULANDO
. O LIMITE INFERIOR NATURAL (LIN) É
- 3б, ENQUANTO O LIMITE SUPERIOR NORMAL (LSN) É
. DESSE MODO, CALCULE ESSES DOIS LIMITES E A PROPORÇÃO DE ITENS FABRICADOS DENTRO DESSES LIMITES.
4A) QUAL A VARIÁVEL ALEATÓRIA DE INTERESSE. JUSTIFIQUE PORQUE A VARIÁVEL EM QUESTÃO É CONSIDERADA ALEATÓRIA (RESPONDA CONTEXTUALIZANDO COM O ENUNCIADO).
4B) ESTA VARIÁVEL ALEATÓRIA É DISCRETA OU CONTÍNUA? JUSTIFIQUE.
4C) COM BASE NA RESPOSTA ANTERIOR, AS PROBABILIDADES DOS POSSÍVEIS RESULTADOS DESSA VARIÁVEL PODEM EXPRESSOS POR UMA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE OU POR UMA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE? JUSTIFIQUE.
4D) QUAL MODELO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ESPECÍFICO ESTÁ SENDO USADO, CONFORME O ENUNCIADO.
4E) QUAIS OS PARÂMETROS DE POSIÇÃO (LOCAÇÃO) E DE ESCALA (DISPERSÃO OU VARIAÇÃO) DESSA DISTRIBUIÇÃO EM QUESTÃO.
4F) COMO ESSES PARÂMETROS ATUAM NA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA)?
4G) QUAL A PROBABILIDADE DE HAVER UM PRODUTO PRODUZIDO FORA DE ESPECIFICAÇÃO, QUANDO SORTEADO ALEATORIAMENTE?
4H) CONFORME O ITEM ANTERIOR, QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS PRODUZIDOS FORA DE ESPECIFICAÇÃO?
4I) QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS ABAIXO DO LIE?
4J) QUAL A PROPORÇÃO ESTIMADA DE PRODUTOS ACIMA DO LSE?
4K) QUAL A QUANTIDADE ESPERADA DE PRODUTOS FORA DE ESPECIFICA DENTRE OS 10.000 MANUFATURADOS?
4L) QUANTOS DESVIOS PADRÕES EXISTEM ENTRE O CENTRO DE MASSA DA DISTRIBUIÇÃO DO PESO E O LIE? APRESENTE AS CONTAS E A UTILIDADE DESSES RESULTADOS OBTIDOS.
4M) QUANTOS DESVIOS PADRÕES EXISTEM ENTRE O CENTRO DE MASSA DA DISTRIBUIÇÃO DO PESO E O LIE? APRESENTE AS CONTAS APRESENTE AS CONTAS E A UTILIDADE DESSES RESULTADOS OBTIDOS.
4N) A TOLERÂNCIA NATURAL DO PESO DO ACHOCOLATADO É DADA POR 6G, O QUE CORRESPONDE À AMPLITUDE NATURAL DOS RESULTADOS DO PESO, POIS ENGLOBA A ESMAGADORA MAIORIA DOS ITENS PRODUZIDOS. OS LIMITES DE TOLERÂNCIA NATURAL PODEM SER OBTIDOS CALCULANDO
Passo 1
Vamos resumir a questão! Estamos lidando com a produção de achocolatados enlatados que têm um peso distribuído normalmente com média de 301g e desvio padrão de 1g. O controle de qualidade estabeleceu que o peso não pode ser menor que 298g (LIE) nem maior que 302g (LSE). Vamos analisar diferentes aspectos dessa distribuição para um lote de 10.000 latas.
Passo 2
4A) Qual a variável aleatória de interesse? Justifique por que a variável em questão é considerada aleatória.
A variável aleatória de interesse é o peso (
) de uma lata de achocolatado produzida.
Ela é considerada aleatória porque, mesmo com um processo de produção controlado, há variações naturais que fazem com que cada lata possa ter um peso ligeiramente diferente. Essas variações são imprevisíveis e, portanto, o peso de cada lata é uma variável aleatória.
Passo 3
4B) Esta variável aleatória é discreta ou contínua? Justifique.
A variável aleatória
(peso da lata) é contínua.
Isso porque o peso pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, incluindo frações de gramas (como 301,5g, 301,01g, etc.), ao contrário das variáveis discretas que só podem assumir valores específicos.
Passo 4
4C) Com base na resposta anterior, as probabilidades dos possíveis resultados dessa variável podem ser expressas por uma função de probabilidade ou por uma função densidade de probabilidade? Justifique.
Como
é uma variável contínua, as probabilidades são expressas por uma função densidade de probabilidade (f.d.p).
Isso ocorre porque, para variáveis contínuas, a probabilidade de
assumir exatamente um valor específico é zero. Ao invés disso, calculamos a probabilidade de
estar dentro de um intervalo.
Passo 5
4D) Qual modelo de distribuição de probabilidade específico está sendo usado, conforme o enunciado.
Estamos usando a distribuição normal.
O enunciado especifica que o peso das latas segue uma distribuição normal com média de 301g e desvio padrão de 1g.
Passo 6
4E) Quais os parâmetros de posição (locação) e de escala (dispersão ou variação) dessa distribuição em questão.
- Parâmetro de posição (locação): Média (
) - Parâmetro de escala (dispersão): Desvio padrão (
)
Esses parâmetros definem onde a distribuição está centrada e quão espalhada ela está.
Passo 7
4F) Como esses parâmetros atuam na função densidade de probabilidade (distribuição contínua)?
Na função densidade de probabilidade da distribuição normal:
- Média (
): Determina o centro da curva, onde ocorre o pico máximo. - Desvio padrão (
): Determina a largura da curva. Um maior faz a curva mais larga e menos alta, indicando maior variabilidade, enquanto um menor faz a curva mais estreita e alta, indicando menor variabilidade.
Passo 8
4G) Qual a probabilidade de haver um produto produzido fora de especificação, quando sorteado aleatoriamente?
Queremos calcular
ou
.
Primeiro, calculamos os valores padronizados (z):
Usando a tabela da distribuição normal:
Então, a probabilidade total de estar fora de especificação é:
Ou seja, 16%.
Passo 9
4H) Conforme o item anterior, qual a proporção estimada de produtos produzidos fora de especificação?
A proporção estimada é de 16%. Isso significa que, em média, 16% das latas produzidas estarão fora das especificações de peso estabelecidas.
Passo 10
4I) Qual a proporção estimada de produtos abaixo do LIE?
Já calculamos
.
Portanto, a proporção de produtos abaixo do LIE é de aproximadamente 0,13%.
Passo 11
4J) Qual a proporção estimada de produtos acima do LSE?
Já calculamos
.
Portanto, a proporção de produtos acima do LSE é de aproximadamente 15,87%.
Passo 12
4K) Qual a quantidade esperada de produtos fora de especificação entre os 10.000 manufaturados?
Com uma proporção de 16%, a quantidade esperada é:
Portanto, espera-se que 1.600 latas estejam fora das especificações.
Passo 13
4L) Quantos desvios padrões existem entre o centro de massa da distribuição do peso e o LIE? Apresente as contas e a utilidade desses resultados obtidos.
Calculamos anteriormente:
Isso significa que o LIE está a 3 desvios padrão abaixo da média.
Utilidade: Indica o quão extremo é o limite inferior. Estando a 3σ, é um ponto onde eventos são muito raros, ajudando a identificar produtos significativamente fora do padrão.
Passo 14
4M) Quantos desvios padrões existem entre o centro de massa da distribuição do peso e o LSE? Apresente as contas e a utilidade desses resultados obtidos.
Calculamos anteriormente:
Isso significa que o LSE está a 1 desvio padrão acima da média.
Utilidade: Mostra que o limite superior está mais próximo da média, indicando que há uma maior probabilidade de os produtos excederem esse limite em comparação ao LIE.
Passo 15
4N) A tolerância natural do peso do achocolatado é dada por 6g, o que corresponde à amplitude natural dos resultados do peso, pois engloba a esmagadora maioria dos itens produzidos. Os limites de tolerância natural podem ser obtidos calculando
. O limite inferior natural (LIN) é
, enquanto o limite superior normal (LSN) é
. Dessa modo, calcule esses dois limites e a proporção de itens fabricados dentro desses limites.
Primeiro, calculamos os limites:
Agora, calculamos a proporção de itens dentro desses limites, ou seja,
.
Como estamos considerando
, sabemos que aproximadamente 99,73% dos itens estarão dentro desse intervalo na distribuição normal.
Resposta
Todas as questões de 4A a 4N foram resolvidas conforme solicitado, apresentando as variáveis aleatórias, suas características, cálculos de probabilidades e proporções, além da interpretação dos resultados no contexto da produção de achocolatados enlatados.