Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de
por peça. Das peças produzidas nessa máquina,
são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é de R$25,00, mas apenas
das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida por R$90,00 e cada peça defeituosa é vendida por R$20,00. Seja L o lucro pro peça. Obtenha:
(a) A função de probabilidade de L.
(b) A função de distribuição de probabilidades de L (ou função de distribuição acumulada).
© O lucro esperado por peça.
(d) A variância do lucro.
(a) A função de probabilidade de L.
(b) A função de distribuição de probabilidades de L (ou função de distribuição acumulada).
© O lucro esperado por peça.
(d) A variância do lucro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata da produção de peças usando duas máquinas, considerando custos, taxas de defeito e recuperação. Estamos lidando com probabilidade e estatística para calcular diferentes aspectos do lucro por peça produzida. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de distribuição de probabilidade, valor esperado e variância.
Passo 2
Parte (a): Obter a função de probabilidade de L
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que afetam o lucro por peça:
-
Peça perfeita:
- Probabilidade: 90% ou 0,9
- Receita: R$90,00
- Custo: R$50,00
- Lucro: $ L = 90 - 50 = 40 $
-
Peça defeituosa recuperada:
- Probabilidade inicial de defeito: 10% ou 0,1
- Probabilidade de recuperação: 60% ou 0,6
- Probabilidade total: $ 0,1 \times 0,6 = 0,06 $
- Receita: R$90,00
- Custo: R$50,00 + R$25,00 = R$75,00
- Lucro: $ L = 90 - 75 = 15 $
-
Peça defeituosa não recuperada:
- Probabilidade: $ 0,1 \times 0,4 = 0,04 $
- Receita: R$20,00
- Custo: R$50,00 + R$25,00 = R$75,00
- Lucro: $ L = 20 - 75 = -55 $
Então, a função de probabilidade de L é:
Passo 3
Parte (b): Obter a função de distribuição de probabilidades de L (função de distribuição acumulada)
A função de distribuição acumulada (CDF) acumula as probabilidades até certo valor de L. Vamos organizar os valores de L em ordem crescente:
- $ L = -55 $: $ P(L \leq -55) = 0,04 $
- $ L = 15 $: $ P(L \leq 15) = 0,04 + 0,06 = 0,10 $
- $ L = 40 $: $ P(L \leq 40) = 0,04 + 0,06 + 0,9 = 1,00 $
Então, a função de distribuição acumulada é:
Passo 4
Parte ©: Calcular o lucro esperado por peça
O lucro esperado $ E[L] $ é a soma dos produtos de cada valor de L pela sua probabilidade:
Vamos calcular:
Então, o lucro esperado por peça é R$34,70.
Passo 5
Parte (d): Calcular a variância do lucro
Primeiro, vamos calcular $ E[L^2] $:
Calculando:
Agora, a variância $ Var(L) $ é:
Então, a variância do lucro é aproximadamente 370,41.
Resposta
(a) A função de probabilidade de L é:
(b) A função de distribuição acumulada de L é:
© O lucro esperado por peça é R$34,70.
(d) A variância do lucro é aproximadamente 370,41.