Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de R por peça. Das peças produzidas nessa máquina, por peça Das peças produzidas nessa máquina, são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é de R$25,00, mas apenas são perfeitas As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação Nessa segunda máquina o custo de produção é de R das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida por R$90,00 e cada peça defeituosa é vendida por R$20,00. Seja L o lucro pro peça. Obtenha:
(a) A função de probabilidade de L.
(b) A função de distribuição de probabilidades de L (ou função de distribuição acumulada).
© O lucro esperado por peça.
(d) A variância do lucro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da produção de peças usando duas máquinas, considerando custos, taxas de defeito e recuperação. Estamos lidando com probabilidade e estatística para calcular diferentes aspectos do lucro por peça produzida. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de distribuição de probabilidade, valor esperado e variância.

Passo 2

Parte (a): Obter a função de probabilidade de L
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis situações que afetam o lucro por peça:
  1. Peça perfeita:
    • Probabilidade: 90% ou 0,9
    • Receita: R$90,00
    • Custo: R$50,00
    • Lucro: $ L = 90 - 50 = 40 $
  2. Peça defeituosa recuperada:
    • Probabilidade inicial de defeito: 10% ou 0,1
    • Probabilidade de recuperação: 60% ou 0,6
    • Probabilidade total: $ 0,1 \times 0,6 = 0,06 $
    • Receita: R$90,00
    • Custo: R$50,00 + R$25,00 = R$75,00
    • Lucro: $ L = 90 - 75 = 15 $
  3. Peça defeituosa não recuperada:
    • Probabilidade: $ 0,1 \times 0,4 = 0,04 $
    • Receita: R$20,00
    • Custo: R$50,00 + R$25,00 = R$75,00
    • Lucro: $ L = 20 - 75 = -55 $
Então, a função de probabilidade de L é:
90,00 - Custo: R

Passo 3

Parte (b): Obter a função de distribuição de probabilidades de L (função de distribuição acumulada)
A função de distribuição acumulada (CDF) acumula as probabilidades até certo valor de L. Vamos organizar os valores de L em ordem crescente:
  1. $ L = -55 $: $ P(L \leq -55) = 0,04 $
  2. $ L = 15 $: $ P(L \leq 15) = 0,04 + 0,06 = 0,10 $
  3. $ L = 40 $: $ P(L \leq 40) = 0,04 + 0,06 + 0,9 = 1,00 $
Então, a função de distribuição acumulada é:
L = -55

Passo 4

Parte ©: Calcular o lucro esperado por peça
O lucro esperado $ E[L] $ é a soma dos produtos de cada valor de L pela sua probabilidade:
E[L]
Vamos calcular:
E[L] = (40 times 0,9) + (15 times 0,06) + (-55 times 0,04)
Então, o lucro esperado por peça é R$34,70.

Passo 5

Parte (d): Calcular a variância do lucro
Primeiro, vamos calcular $ E[L^2] $:
E[L^2]
Calculando:
E[L^2] = (40^2 times 0,9) + (15^2 times 0,06) + ((-55)^2 times 0,04)
Agora, a variância $ Var(L) $ é:
E[L^2] = (1600 times 0,9) + (225 times 0,06) + (3025 times 0,04) = 1440 + 13,5 + 121 = 1574,5
Então, a variância do lucro é aproximadamente 370,41.

Resposta

(a) A função de probabilidade de L é:
P(L) = 0,9 & se L = 40 0,06 & se L = 15 0,04 & se L = -55
(b) A função de distribuição acumulada de L é:
F(L) = 0 & se L < -55 0,04 & se -55 <= L < 15 0,10 & se 15 <= L < 40 1,00 & se L >= 40
© O lucro esperado por peça é R$34,70.
(d) A variância do lucro é aproximadamente 370,41.

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