Geralmente, em cerca de
dos chamados que um certo técnico em computação recebe para resolver panes nos computadores de clientes ele constata que o problema decorreu da presença de algum vírus. Suponha que, em um determinado dia, esse técnico vai visitar seis desses clientes cujos computadores necessitam de conserto, e admita também que os seis clientes não se comunicam por meio de computador (o que garante a independência da existência de vírus em cada computador). Calcule a probabilidade de que:
(a) Pelo menos quatro entre os seis computadores estejam com vírus.
(b) No máximo dois dentre eles estejam com vírus.
© Todos os seis estejam com vírus.
(a) Pelo menos quatro entre os seis computadores estejam com vírus.
(b) No máximo dois dentre eles estejam com vírus.
© Todos os seis estejam com vírus.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que um técnico recebe chamados de clientes com computadores com panes, e 80% dessas panes são causadas por vírus. Hoje, ele vai visitar 6 clientes, e os problemas nos computadores são independentes. A questão pede para calcular probabilidades relacionadas ao número de computadores com vírus. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é apropriada quando temos eventos independentes com duas possibilidades (vírus ou não vírus).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
- Número de tentativas (n): 6 computadores.
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,8 (já que 80% dos problemas são por vírus).
- Probabilidade de falha (q): 1 - p = 0,2.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
-
é a combinação de n elementos tomados k a k.
Passo 3
A questão (a) pede a probabilidade de pelo menos quatro computadores estarem com vírus, ou seja, $ P(X \geq 4) $. Isso significa calcular a soma das probabilidades de exatamente 4, 5 e 6 computadores terem vírus.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Para $ P(X = 4) $:
Para $ P(X = 5) $:
Para $ P(X = 6) $:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(X \geq 4) $:
Passo 6
Vamos analisar a parte (b) da questão. A pergunta é sobre a probabilidade de que no máximo dois dos seis computadores estejam com vírus, ou seja, $ P(X \leq 2) $. Novamente, usaremos a distribuição binomial com os mesmos parâmetros.
Passo 7
Identificamos os parâmetros da distribuição binomial:
- Número de tentativas (n): 6 computadores.
- Probabilidade de sucesso §: 0,8.
- Probabilidade de falha (q): 0,2.
A fórmula permanece:
Passo 8
Para $ P(X \leq 2) $, precisamos calcular a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 computadores terem vírus.
Passo 9
Calculando cada termo:
Para $ P(X = 0) $:
Para $ P(X = 1) $:
Para $ P(X = 2) $:
Passo 10
Somando as probabilidades:
Passo 11
Agora, vamos para a parte © da questão. Aqui, queremos a probabilidade de que todos os seis computadores estejam com vírus, ou seja, $ P(X = 6) $. Usaremos novamente a distribuição binomial.
Passo 12
Os parâmetros são:
- Número de tentativas (n): 6.
- Probabilidade de sucesso §: 0,8.
- Probabilidade de falha (q): 0,2.
A fórmula usada é:
Passo 13
Calculando $ P(X = 6) $:
Resposta
A probabilidade de que todos os seis computadores estejam com vírus é aproximadamente 26,21%.