Geralmente, em cerca de 80 % dos chamados que um certo técnico em computação recebe para resolver panes nos computadores de clientes ele constata que o problema decorreu da presença de algum vírus. Suponha que, em um determinado dia, esse técnico vai visitar seis desses clientes cujos computadores necessitam de conserto, e admita também que os seis clientes não se comunicam por meio de computador (o que garante a independência da existência de vírus em cada computador). Calcule a probabilidade de que:
(a) Pelo menos quatro entre os seis computadores estejam com vírus.
(b) No máximo dois dentre eles estejam com vírus.
© Todos os seis estejam com vírus.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que um técnico recebe chamados de clientes com computadores com panes, e 80% dessas panes são causadas por vírus. Hoje, ele vai visitar 6 clientes, e os problemas nos computadores são independentes. A questão pede para calcular probabilidades relacionadas ao número de computadores com vírus. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é apropriada quando temos eventos independentes com duas possibilidades (vírus ou não vírus).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas (n): 6 computadores.
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: 0,8 (já que 80% dos problemas são por vírus).
  • Probabilidade de falha (q): 1 - p = 0,2.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k q^n-k
onde:
  • binomnk é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 3

A questão (a) pede a probabilidade de pelo menos quatro computadores estarem com vírus, ou seja, $ P(X \geq 4) $. Isso significa calcular a soma das probabilidades de exatamente 4, 5 e 6 computadores terem vírus.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.
Para $ P(X = 4) $:
P(X = 4)
P(X = 4) = binom64 (0,8)^4 (0,2)^2
binom64 = 6!4! cdot (6-4)! = 15
Para $ P(X = 5) $:
P(X = 4) = 15 times (0,4096) times (0,04) = 15 times 0,4096 times 0,04 approx 0,24576
P(X = 5)
P(X = 5) = binom65 (0,8)^5 (0,2)^1
Para $ P(X = 6) $:
binom65 = 6!5! cdot (6-5)! = 6
P(X = 5) = 6 times (0,32768) times (0,2) = 6 times 0,32768 times 0,2 approx 0,393216
P(X = 6)

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(X \geq 4) $:
P(X >= 4)
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

Passo 6

Vamos analisar a parte (b) da questão. A pergunta é sobre a probabilidade de que no máximo dois dos seis computadores estejam com vírus, ou seja, $ P(X \leq 2) $. Novamente, usaremos a distribuição binomial com os mesmos parâmetros.

Passo 7

Identificamos os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas (n): 6 computadores.
  • Probabilidade de sucesso §: 0,8.
  • Probabilidade de falha (q): 0,2.
A fórmula permanece:
P(X = k) = binomnk p^k q^n-k

Passo 8

Para $ P(X \leq 2) $, precisamos calcular a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 computadores terem vírus.

Passo 9

Calculando cada termo:
Para $ P(X = 0) $:
P(X = 0)
Para $ P(X = 1) $:
P(X = 0) = binom60 (0,8)^0 (0,2)^6 = 1 times 1 times 0,000064 = 0,000064
P(X = 1)
P(X = 1) = binom61 (0,8)^1 (0,2)^5
Para $ P(X = 2) $:
binom61 = 6
P(X = 1) = 6 times 0,8 times 0,00032 = 6 times 0,8 times 0,00032 approx 0,001536
P(X = 2)

Passo 10

Somando as probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X <= 2) approx 0,000064 + 0,001536 + 0,01536 = 0,01696

Passo 11

Agora, vamos para a parte © da questão. Aqui, queremos a probabilidade de que todos os seis computadores estejam com vírus, ou seja, $ P(X = 6) $. Usaremos novamente a distribuição binomial.

Passo 12

Os parâmetros são:
  • Número de tentativas (n): 6.
  • Probabilidade de sucesso §: 0,8.
  • Probabilidade de falha (q): 0,2.
A fórmula usada é:
P(X = k) = binomnk p^k q^n-k

Passo 13

Calculando $ P(X = 6) $:
P(X = 6)
P(X = 6) = binom66 (0,8)^6 (0,2)^0
binom66 = 1

Resposta

A probabilidade de que todos os seis computadores estejam com vírus é aproximadamente 26,21%.

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