O tempo necessário para carregar uma bateria segue uma distribuição exponencial com média de 1.5 horas.
  1. Qual a probabilidade de a bateria ser carregada em menos de 1 hora?
  2. Determine a probabilidade de levar mais de 2 horas para carregar.
  3. Se 50 baterias forem carregadas, quantas devem levar menos de 1.2 horas?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que o tempo de carregamento T de uma bateria segue uma distribuição exponencial com média μ = 1,5 h. Precisamos:
  1. Calcular P(T < 1 h);
  2. Calcular P(T > 2 h);
  3. Se carregarmos 50 baterias, quantas, em média, levarão menos de 1,2 h?
O conteúdo que a gente vai usar é a distribuição exponencial:
  • A relação entre média e parâmetro é lambda = 1/mu.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é F(t) = 1 - e^-lambda t.
  • Para P(T>t) usamos 1 - F(t)=e^-lambda t.
  • E, no caso de 50 baterias, usamos a ideia de valor esperado (número médio) igual a n ,p, onde p=P(T<1,2).

Passo 2

Primeiro a gente encontra lambda. Como mu=1,5 h,
lambda = 1mu = 11,5 = 23 (por hora)

Passo 3

Agora faz a parte 1:
P(T<1) = F(1) = 1 - e^-lambdacdot 1 = 1 - e^-tfrac23times 1 = 1 - e^-2/3
Lembra que isso vem direto da CDF da exponencial.

Passo 4

Parte 2:
P(T>2) = 1 - F(2) = e^-lambdacdot 2 = e^-tfrac23times 2 = e^-4/3

Passo 5

Parte 3: para 50 baterias, a probabilidade de cada uma levar menos de 1,2 h é
p = P(T<1,2) = 1 - e^-lambdacdot 1,2 = 1 - e^-tfrac23times 1,2 = 1 - e^-0,8
O número médio de baterias (valor esperado) que satisfaz isso é
E = 50 times p = 50l(1 - e^-0,8r)

Resposta

  1. P(T<1) = 1 - e^-2/3approx 0,4866
  2. P(T>2) = e^-4/3approx 0,2636
  3. Em média 50l(1 - e^-0,8r)approx 27,54, ou seja, cerca de 28 baterias.

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