O tempo de vida (em anos) de um transistor segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida theta=5 anos.
  1. Determine a função densidade de probabilidade.
  2. Qual a probabilidade de um transistor durar mais de 6 anos?
  3. Qual a probabilidade de um transistor falhar antes dos 3 anos de operação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o tempo de vida de um transistor (em anos) segue uma distribuição exponencial com média anos. A matéria é “Distribuição Exponencial”, e para resolver vamos precisar saber:
  • Qual a forma da função densidade de probabilidade (PDF) dessa distribuição.
  • Como calcular probabilidades do tipo e usando a PDF e a função de sobrevivência ou de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Antes de tudo, lembra que a distribuição exponencial tem PDF dada por
f(t) = 1theta e^-t/theta, t >= 0
Isso vem da definição da exponencial: ela é a única que “não lembra” do passado (propriedade de falta de memória). Aqui boxedf(t) = 15 , e^-t/5, t >= 0 é a média. Como , substituímos:

Passo 3

Agora, queremos P(T > t) = e^-t/theta , a probabilidade de durar mais de 6 anos.
Em distribuição exponencial, a função de sobrevivência é
P(T > 6) = e^-6/5
Logo, para e :
Se quiser valor numérico, .

Passo 4

Por fim, F(t) = 1 - e^-t/theta , ou a probabilidade de falhar antes de 3 anos. A gente pode usar a CDF P(T < 3) = F(3) = 1 - e^-3/5 , que é
Então para :
Numericamente dá .

Resposta

PDF:

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