Seja
e
. Determine
.
Seja \vec{r}(t)=(t, \sin t) e f(x, y)=\arctan (y / x). Determine \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))].

Passo 1

O enunciado dá \vec r(t) = (x(t),y(t)) = (t,\sin t) e a função
f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr).
Queremos
\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr].
O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis; vamos precisar das derivadas parciais de f e da derivada de \vec r(t).

Passo 2

A regra da cadeia afirma que
\frac{d}{dt}f(\vec r(t)) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de
f(x,y)=\arctan\!\bigl(u\bigr), \quad \text{onde }u=\frac{y}{x}.
Então
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{1+(y/x)^2}\,\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr) = -\frac{y}{x^2+y^2},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{1+(y/x)^2}\,\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 4

Derivando \vec r(t), com x(t)=t e y(t)=\sin t, vem
\frac{dx}{dt}=1, \quad \frac{dy}{dt}=\cos t.

Passo 5

Substituindo x=t, y=\sin t e aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}f(\vec r(t)) = \Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr)\cdot1 + \Bigl(\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr)\cdot\cos t = \frac{-\sin t + t\cos t}{t^2 + \sin^2 t}.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] = \frac{t\cos t - \sin t}{t^2 + \sin^2 t}.

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