Calcule a derivada da hélice
e interprete geometricamente.
Calcule a derivada da hélice \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t) e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da hélice \displaystyle \vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t).
O conteúdo aqui é derivada de função vetorial, em que aplicamos a regra “derivo componente a componente”.

Passo 2

Derivando cada componente em relação a t: \displaystyle \frac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \displaystyle \frac{d}{dt}\sin t = \cos t, \displaystyle \frac{d}{dt}t = 1.

Passo 3

Portanto, a derivada vetorial é
\vec r\,'(t) = \bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).

Passo 4

Geometricamente, \vec r\,'(t) é o vetor tangente à hélice no ponto \vec r(t). Ele indica a direção instantânea do movimento sobre a hélice.

Passo 5

Para caracterizar o movimento, calculamos a velocidade (norma de \vec r\,'(t)):
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{1+1} =\sqrt2.

Passo 6

Como \|\vec r\,'(t)\| é constante, o ponto move-se com velocidade uniforme. A componente horizontal tem módulo 1 e a vertical vale 1, de modo que o vetor tangente faz um ângulo \displaystyle \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{1}\bigr)=45^\circ
com o eixo z.

Resposta

\displaystyle \vec r\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1), vetor tangente de módulo \sqrt2, indicando direção e rapidez constantes ao longo da hélice.

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