A produção de trigo
em um determinado ano depende da temperatura média
e do volume anual das chuvas
. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de
ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de
ano. Eles também estimam que, no atual nível de produção,
e
(a) Qual é o significado dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
.
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- A produção de trigo é uma função de duas variáveis:
, onde é a temperatura média anual e é o volume anual de chuvas. - A taxa de variação da temperatura média é
. - A taxa de variação da chuva é
. - No nível atual, as derivadas parciais são
e .
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é o significado dessas derivadas parciais e
?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo .
(a) Qual é o significado dessas derivadas parciais
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Passo 2
O que é uma derivada parcial na prática (intuição e unidades).
- A derivada parcial
mede a sensibilidade instantânea de em relação a quando se mantém fixo. Em palavras simples: ela diz quanto aproximadamente muda se aumentarmos a temperatura em uma pequena quantidade, sem mudar a chuva. - A unidade de
é “unidade de por grau Celsius” (por exemplo, toneladas por grau, se estivesse em toneladas). - Analogamente,
mede a sensibilidade de em relação a mantendo fixo; sua unidade é “unidade de por centímetro de chuva”.
Exemplo numérico concreto com os valores dados:
- Como
, isso significa que, se aumentar em e ficar exatamente o mesmo, então diminuirá aproximadamente unidades (do mesmo tipo que é medido). - Como
, isso significa que, se aumentar em e ficar igual, então aumentará aproximadamente unidades.
Passo 3
Como usar essas derivadas parciais quando
e
variam com o tempo: dedução da regra prática (cadeia total).
- Se
e , então depende do tempo através de e : . - Para pequenas variações em um intervalo
, a aproximação linear (diferencial total) é
- Dividindo por
e passando ao limite , obtemos a fórmula da derivada temporal (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
- Interpretação: a taxa de variação de
no tempo é a soma das contribuições de e de , cada uma sendo a sensibilidade (derivada parcial) vezes a velocidade com que aquela variável muda no tempo.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados (substituição direta).
Temos
,
,
e
. Portanto
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo.
- Primeiro produto:
- Segundo produto:
- Soma das contribuições:
A unidade é “unidades de
por ano” (isto é, a mesma unidade em que
é medida, por ano). O valor negativo indica que a produção está diminuindo no momento atual.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova.
- Interpretação: a produção de trigo está diminuindo à taxa de
unidades de por ano. Numericamente, a queda anual estimada é dominada pela redução das chuvas (contribuição ) mais a influência do aquecimento (contribuição ). - Dica rápida para prova: quando tiver
e variando com , sempre use
multiplique cada derivada parcial pela taxa temporal correspondente e some. É direto e rápido — só cuidado com sinais (mais/menos).
Resposta
(a)
significa: mantendo
fixo, um aumento de
em
reduz
em aproximadamente
unidades;
significa: mantendo
fixo, um aumento de
em
aumenta
em aproximadamente
unidades.
(b)
unidades de
por ano.