A produção de trigo W em um determinado ano depende da temperatura média T e do volume anual das chuvas R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15^{\circ} \mathrm{C} / ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1 \mathrm{~cm} / ano. Eles também estimam que, no atual nível de produção,
\partial W / \partial T=-2
e
\partial W / \partial R=8 .
(a) Qual é o significado dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo d W / d t.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • A produção de trigo é uma função de duas variáveis: W=W(T,R), onde T é a temperatura média anual e R é o volume anual de chuvas.
  • A taxa de variação da temperatura média é \dfrac{dT}{dt}=0,15^\circ\mathrm{C}/\mathrm{ano}.
  • A taxa de variação da chuva é \dfrac{dR}{dt}=-0,1\\ \mathrm{cm}/\mathrm{ano}.
  • No nível atual, as derivadas parciais são \dfrac{\partial W}{\partial T}=-2 e \dfrac{\partial W}{\partial R}=8.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é o significado dessas derivadas parciais \dfrac{\partial W}{\partial T} e \dfrac{\partial W}{\partial R}?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo \dfrac{dW}{dt}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial na prática (intuição e unidades).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial W}{\partial T} mede a sensibilidade instantânea de W em relação a T quando se mantém R fixo. Em palavras simples: ela diz quanto aproximadamente W muda se aumentarmos a temperatura em uma pequena quantidade, sem mudar a chuva.
  • A unidade de \dfrac{\partial W}{\partial T} é “unidade de W por grau Celsius” (por exemplo, toneladas por grau, se W estivesse em toneladas).
  • Analogamente, \dfrac{\partial W}{\partial R} mede a sensibilidade de W em relação a R mantendo T fixo; sua unidade é “unidade de W por centímetro de chuva”.
Exemplo numérico concreto com os valores dados:
  • Como \dfrac{\partial W}{\partial T}=-2, isso significa que, se T aumentar em 1^\circ\mathrm{C} e R ficar exatamente o mesmo, então W diminuirá aproximadamente 2 unidades (do mesmo tipo que W é medido).
  • Como \dfrac{\partial W}{\partial R}=8, isso significa que, se R aumentar em 1\\ \mathrm{cm} e T ficar igual, então W aumentará aproximadamente 8 unidades.

Passo 3

Como usar essas deriva­das parciais quando T e R variam com o tempo: dedução da regra prática (cadeia total).
  • Se T=T(t) e R=R(t), então W depende do tempo através de T e R: W(t)=W(T(t),R(t)).
  • Para pequenas variações em um intervalo \Delta t, a aproximação linear (diferencial total) é
\Delta W \approx \frac{\partial W}{\partial T}\,\Delta T + \frac{\partial W}{\partial R}\,\Delta R.
  • Dividindo por \Delta t e passando ao limite \Delta t\to 0, obtemos a fórmula da derivada temporal (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial T}\,\frac{dT}{dt}+\frac{\partial W}{\partial R}\,\frac{dR}{dt}.
  • Interpretação: a taxa de variação de W no tempo é a soma das contribuições de T e de R, cada uma sendo a sensibilidade (derivada parcial) vezes a velocidade com que aquela variável muda no tempo.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados (substituição direta).
Temos \dfrac{\partial W}{\partial T}=-2, \dfrac{\partial W}{\partial R}=8, \dfrac{dT}{dt}=0,15^\circ\mathrm{C}/\mathrm{ano} e \dfrac{dR}{dt}=-0,1\\ \mathrm{cm}/\mathrm{ano}. Portanto
\frac{dW}{dt}=\left(-2\right)\cdot\left(0,15\right)+\left(8\right)\cdot\left(-0,1\right).

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
  • Primeiro produto:
\left(-2\right)\cdot\left(0,15\right)=-0,30.
  • Segundo produto:
\left(8\right)\cdot\left(-0,1\right)=-0,8.
  • Soma das contribuições:
\frac{dW}{dt}=-0,30-0,8=-1,10.
A unidade é “unidades de W por ano” (isto é, a mesma unidade em que W é medida, por ano). O valor negativo indica que a produção está diminuindo no momento atual.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova.
  • Interpretação: a produção de trigo está diminuindo à taxa de \,1{,}10 unidades de W por ano. Numericamente, a queda anual estimada é dominada pela redução das chuvas (contribuição -0{,}8) mais a influência do aquecimento (contribuição -0{,}30).
  • Dica rápida para prova: quando tiver W=W(x,y) e x,y variando com t, sempre use
\frac{dW}{dt}=W_x\,x'(t)+W_y\,y'(t),
multiplique cada derivada parcial pela taxa temporal correspondente e some. É direto e rápido — só cuidado com sinais (mais/menos).

Resposta

(a) \dfrac{\partial W}{\partial T}=-2 significa: mantendo R fixo, um aumento de 1^\circ\mathrm{C} em T reduz W em aproximadamente 2 unidades; \dfrac{\partial W}{\partial R}=8 significa: mantendo T fixo, um aumento de 1\\ \mathrm{cm} em R aumenta W em aproximadamente 8 unidades.
(b) \dfrac{dW}{dt}=-1{,}10 unidades de W por ano.

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