A produtividade de uma cultura ( P ) em função da quantidade de adubo ( A ) é dada por P(A)=10+2 cdot A-0,05 cdot A^2. Determine a quantidade de adubo que maximiza a produtividade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a produtividade P em função da quantidade de adubo A é
P(A) = 10 + 2A - 0,05A^2
Isso é um problema de função quadrática: a gente quer achar o valor de A que maximiza P. Para isso, vamos usar cálculo de derivada (ou então a fórmula do vértice), mas aqui vou fazer pelo caminho da derivada porque explica melhor o “porquê”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra de derivação basicona:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de P(A) = 10 + 2A - 0,05A^2, é P'(A) = 0 + 2 - 0,05cdot 2,A^2-1 = 2 - 0,10,A .
  • A derivada de é .
Aplicando isso em cada termo de
temos:

Passo 3

Agora, para achar o ponto crítico (onde a função pode ter máximo ou mínimo), a gente iguala a derivada a zero:
2 - 0,10,A = 0 Longrightarrow 0,10,A = 2 Longrightarrow A = 20,10 = 20

Passo 4

Pra ter certeza de que isso é um máximo e não um mínimo, a gente pode olhar a segunda derivada:
P''(A) = ddA(2 - 0,10,A) = -0,10
Como , isso confirma que em a função atinge um máximo.

Resposta

A quantidade de adubo que maximiza a produtividade é 20.

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