A produtividade de uma cultura ( P ) em função da quantidade de adubo ( A ) é dada por
. Determine a quantidade de adubo que maximiza a produtividade.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a produtividade P em função da quantidade de adubo A é
Isso é um problema de função quadrática: a gente quer achar o valor de A que maximiza P. Para isso, vamos usar cálculo de derivada (ou então a fórmula do vértice), mas aqui vou fazer pelo caminho da derivada porque explica melhor o “porquê”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra de derivação basicona:
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando isso em cada termo de
temos:
Passo 3
Agora, para achar o ponto crítico (onde a função pode ter máximo ou mínimo), a gente iguala a derivada a zero:
Passo 4
Pra ter certeza de que isso é um máximo e não um mínimo, a gente pode olhar a segunda derivada:
Como
, isso confirma que em
a função atinge um máximo.
Resposta
A quantidade de adubo que maximiza a produtividade é 20.